Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 128 стр.

    Рассмотрим в A «векторную трубку».       Так называют поверхность,
состоящую из векторных линий, в сечении которой поперечником получается
замкнутая кривая.




       Возьмем замкнутую поверхность, состоящую из векторной трубки и двух
поперечников. В соответствии со сказанным выше поток вектора поля через
такую замкнутую поверхность равен нулю. Поток через боковую поверхность –
векторную трубку – также равен нулю, так как по определению векторных линий
направление вектора поля V совпадает с направлением векторных линий, и
значит, ортогонален к нормали к боковой поверхности. Таким образом, сумма
потоков через поперечники внутрь (или вне) замкнутой поверхности равна нулю.
Следовательно, в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечные
сечения векторной трубки сохраняет постоянную величину. Эта величина
называется интенсивностью векторной трубки.


                Разложение произвольного векторного поля.
               
    Пусть V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  A , – произвольное
векторное поле. Покажем, что вектор V может быть представлен как сумма двух
векторов, один из которых представляет потенциальное, а другой –
соленоидальное векторное поле.
    Пусть вектор V   gradU . Какой должна быть эта функция U ( x, y, z) , чтобы
вектор V   V V  был соленоидальным?
    Поскольку divV   0 , получим divV  div(gradU )  0 , то есть U  divV .
Таким образом, чтобы разложить исходный вектор V на сумму потенциального и
соленоидального векторов, необходимо сначала решить уравнение Пуассона
U  divV . Такое уравнение всегда имеет решение (и даже бесчисленное
множество решений). Определив U ( x, y, z) , мы получим потенциальный вектор
V   gradU . Теперь по построению вектор V   V V               соленоидальный.
Следовательно, требуемое разложение V  V   V  построено.




                                          128