Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 123 стр.

                                    ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ


    Полем называют скалярную или векторную функцию, заданную в каждой
точке некоторой части пространства и являющейся физической характеристикой
этой части пространства. В зависимости от вида заданной функции различают
скалярное или векторное поле.
    Примеры скалярных полей: поле температур, поле электрического
потенциала.
    Примеры векторных полей: поле скоростей, силовое поле.

                    Характеристики скалярного поля.
    Пусть задано скалярное поле функции u  u( x, y, z) , ( x, y, z)  A .
    Поверхностью уровня данного скалярного поля называется поверхность,
задаваемая уравнением u( x, y, z)  const . Примером является поле температур в
части пространства, обеспеченное точечным излучением тепла, и сферические
поверхности с центром в точке источника излучения.

      Скалярное поле может задаваться не только в пространстве, но и в области на
плоскости. Примером плоского скалярного поля может служить поле значений
высоты над уровнем моря, заданное на карте местности.
      Линией уровня плоского скалярного поля называется кривая, находящаяся
в области задания скалярной функции z  z( x, y) и задаваемая уравнением
z( x, y)  const . Примером линий уровня служат изолинии на картах.

      Градиентом скалярного поля u  u( x, y, z) , ( x, y, z)  A , называется вектор-
                                                                      u u      u
функция, заданная на A , и равная grad u( x, y, z)                      i    j k.
                                                                      x    y   z
    С помощью градиента определяют производную функции по направлению.
Если    l  (cos ,cos  ,cos  ) – единичный вектор направления,   то
u  u  cos  u  cos   u  cos   (grad u, l ) .
l x            y           z
    Как известно, наибольшее изменение в фиксированной точке функция
претерпевает в направлении градиента в этой точке.

    По заданной функции легко построить градиент. Обратно, если известен
градиент функции, то есть, все ее частные производные, то саму функцию легко
восстановить с точностью до постоянного слагаемого по формуле
                                      ( x, y , z )                        ( x, y , z )
                                                       u     u   u
u( x, y, z)  u( x0 , y0 , z0 )          
                                    ( x0 , y0 , z0   )
                                                       x
                                                          dx  dy  dz   (grad u, dr ) .
                                                              y   z   ( x , y ,z )
                                                                          0     0 0




                                                             123