Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

118
координатами
, ) , )( и (
A A B B
yyxx
, соответственно, равен
, ) , )( , ) ( , ) ( (
B B A A
B
A
yyP x y dx Q x y dy U x U x
.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Поверхностный интеграл первого рода.
Основной задачей, приводящей к поверхностному интегралу первого рода,
является задача о вычислении массы неоднородной оболочки.
Пусть S – поверхность в пространстве XYZ. Тяжелая неоднородная
оболочка расположена в пространстве в виде этой поверхности. Плотность
оболочки, рассчитанная на единицу площади поверхности, зависит от
местоположения точки на поверхности и равна
( , , )x y z
, причем
( , , )x y z
–
непрерывная на S функция. Для того, чтобы вычислить массу неоднородной
оболочки, разобьем поверхность S на n фрагментов
i
S
с площадями
i
s
и на
каждом таком фрагменте
выберем точку
i
P
с координатами
( , , )
i i i
. Найдем значение
.
Предполагая, что площадь i-го поверхностного фрагмента мала и учитывая, что
плотность непрерывна, получим, что масса этого фрагмента будет
приблизительно равна
( , , )
i i i i
s

, причем чем меньше фрагмент, тем точнее
полученная масса этого фрагмента. Поэтому массу всей оболочки можно
получить, просуммировав массы всех фрагментов и устремив к нулю площади
фрагментов, одновременно увеличивая количество фрагментов, на которые
разбита поверхность. Таким образом, выражение для массы оболочки будет иметь
вид
max 0
1
lim ( , , )
i
i
n
i i i i
s
i
Ms


.
Представим предел интегральной суммы через двойной интеграл, так как
сомножитель
i
s
– элемент площади. В результате предельного перехода
получим
( , , )
S
M x y z ds

.
Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, называется
поверхностным интегралом первого рода или поверхностным интегралом по 
координатами                   ( xA , yA ) и ( xB , yB ) ,              соответственно,   равен
B

A P( x, y)dx  Q( x, y)dy  U ( x , y ) U ( x , y ) .
                                  B    B             A       A




                           ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
                   Поверхностный интеграл первого рода.
    Основной задачей, приводящей к поверхностному интегралу первого рода,
является задача о вычислении массы неоднородной оболочки.
    Пусть S –       поверхность в пространстве XYZ. Тяжелая неоднородная
оболочка расположена в пространстве в виде этой поверхности. Плотность
оболочки, рассчитанная на единицу площади поверхности, зависит от
местоположения точки на поверхности и равна  ( x, y, z) , причем  ( x, y, z) –
непрерывная на S функция. Для того, чтобы вычислить массу неоднородной
оболочки, разобьем поверхность S на n фрагментов Si с площадями si и на




каждом таком фрагменте

выберем точку Pi с координатами (i ,i , i ) . Найдем значение  (i ,i , i ) .
Предполагая, что площадь i-го поверхностного фрагмента мала и учитывая, что
плотность непрерывна, получим, что масса этого фрагмента будет
приблизительно равна  (i ,i , i ) si , причем чем меньше фрагмент, тем точнее
полученная масса этого фрагмента. Поэтому массу всей оболочки можно
получить, просуммировав массы всех фрагментов и устремив к нулю площади
фрагментов, одновременно увеличивая количество фрагментов, на которые
разбита поверхность. Таким образом, выражение для массы оболочки будет иметь
вид
                                                                  n

                                                s 0 
                                        M  maxlim       (i ,i ,  i )si .
                                                 i       i       i 1


    Представим предел интегральной суммы через двойной интеграл, так как
сомножитель si – элемент площади. В результате предельного перехода
получим M    ( x, y, z)ds .
                    S
    Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, называется
поверхностным интегралом первого рода или поверхностным интегралом по

                                                             118

Страницы