Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

113
( ( , , ), ( , , ), ( , , ))f x u v w y u v w z u v w
, умноженной на модуль якобиана
( , , )
( , , )
x y z
u v w
. То есть,
справедлива формула
( , , )
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))
( , , )
B
x y z
f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w dudvdw
u v w

.
Пример. Пусть трехмерная область
B
– верхнее полушарие радиуса 1. Найти
2 2 2
()
B
x y z dxdydz

. Перейдем к сферическим координатам по формулам
cos sin , sin sin ,x r y r
coszr

. Учтем, что
2
( , , )
sin
( , , )
x y z
r
r

, и
значит в верхнем полушарии
. В результате расстановки
пределов интегрирования получим
2 /2 1
2 2 2 4
0 0 0
2
( ) sin
5
B
x y z dxdydz d d r dr

.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейный интеграл 1-го рода.
В качестве основной задачи, приводящей к криволинейному интегралу
первого рода, рассмотрим задачу о вычислении массы неоднородной нити.
Пусть С – кривая в пространстве XYZ, любой фрагмент которой имеет
длину. Тяжелая неоднородная нить расположена вдоль этой кривой. Плотность
нити, рассчитанная на единицу длины, зависит от местоположения точки на
кривой и равна
( , , )x y z
, причем
( , , )x y z
– непрерывная на C функция. Для
того, чтобы вычислить массу неоднородной нити, разобьем кривую C на n
фрагментов с длинами
i
l
и на каждом таком фрагменте выберем точку с
координатами
( , , )
i i i
и найдем
значение
( , , )
i i i
 
. 
                                                                                       ( x, y, z )
f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) , умноженной на модуль якобиана                             . То есть,
                                                                                       (u, v, w)
справедлива формула
                                                                              ( x, y, z)
     
      B
         f ( x, y, z) dx dydz   f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) 
                                 
                                                                                (u , v, w)
                                                                                            du dv dw .


     Пример. Пусть трехмерная область B – верхнее полушарие радиуса 1. Найти
      ( x  y  z ) dx dy dz . Перейдем к сферическим координатам по формулам
            2   2   2

      B
                                                                                 ( x, y, z)
x  r  cos  sin , y  r  sin   sin , z  r  cos . Учтем, что                        r 2  sin , и
                                                                                 (r, , )
                                             ( x, y, z)
значит в верхнем полушарии                                r 2  sin . В результате расстановки
                                             (r, , )
пределов интегрирования получим
                                        2      /2
                                                                          2
                                                              1

      ( x  y  z ) dx dy dz         d    0    sin d  r 4dr 
            2     2     2
                                                                             .
      B                                 0                     0
                                                                           5




                            КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


                    Криволинейный интеграл 1-го рода.
    В качестве основной задачи, приводящей к криволинейному интегралу
первого рода, рассмотрим задачу о вычислении массы неоднородной нити.

     Пусть С – кривая в пространстве XYZ, любой фрагмент которой имеет
длину. Тяжелая неоднородная нить расположена вдоль этой кривой. Плотность
нити, рассчитанная на единицу длины, зависит от местоположения точки на
кривой и равна  ( x, y, z) , причем  ( x, y, z) – непрерывная на C функция. Для
того, чтобы вычислить массу неоднородной нити, разобьем кривую C на n
фрагментов с длинами li и на каждом таком фрагменте выберем точку с
координатами                      (i ,i ,  i )            и              найдем




     значение  (i ,i ,  i ) .
                                                       113

Страницы