Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110
Перейдем в интеграле
()
D
x y dxdy

к полярным координатам по формулам
cos , sinx r y r

, учитывая, что
( , )
( , )
xy
r
r
. Мы получим
/3 1
2
00
1 1 3
( (cos sin ) )
32
()
D
r dr dx y dxdy


.
Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
В случае, когда уравнение поверхности задано в явном виде:
( , ),z f x y
( , )x y D
, площадь поверхности вычисляется по формуле
22
1 ( ( , )) ( ( , ))
xy
D
S f x y f x y dxdy


.
В том случае, когда поверхность задается параметрически:
( , ),
( , ),
( , ),
x x u v
y y u v
z z u v
, площадь поверхности вычисляется по формуле
,
2 2 2
.
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
uv
D
x y y z z x
S dudv
u v u v u v

Тройные интегралы.
В качестве основной задачи, приводящей к тройному интегралу от функции
трех переменных, рассмотрим задачу вычисления массы неоднородного тела
B
с
переменной плотностью
( , , )x y z
.
Разделим тело
B
на
n
фрагментов. Пусть
i
B
- один из этих фрагментов.
Выберем внутри этого фрагмента точку
.( , , )
i i i i
P
Обозначим через
i
M
массу
вещества внутри
i
B
, через
i
V
– объем
i
B
. В силу непрерывности плотности при
достаточно малых размерах фрагмента, то есть, при малых значениях
2 2 2
( , , ),( , , )
max ( ) ( ) ( )
i
i
x y z x y z B
x x y y z z d
можно считать, что 
          Перейдем в интеграле                            D ( x  y)dx dy   к полярным координатам по формулам

                                                                      ( x, y)
x  r  cos, y  r  sin  , учитывая, что                                       r . Мы получим
                                                                       (r ,  )
                                           /3 1
                                                                                   1 1 3
            ( x  y)dxdy                0 (0 r        (cos  sin  )dr )d  
                                                      2
                                                                                          .
            D
                                                                                   3 2


      Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

      В случае, когда уравнение поверхности задано в явном виде: z  f ( x, y),
( x, y)  D , площадь поверхности вычисляется по формуле
                                    S   1  ( f x( x, y))2  ( f y ( x, y))2 dxdy .
                                          D
                                                                                                             x  x(u, v),
                                                                                                            
          В том случае, когда поверхность задается параметрически:                                           y  y (u, v),
                                                                                                             z  z (u, v),
                                                                                                            
(u, v)  Du,v , площадь поверхности вычисляется по формуле
                                                               2               2               2
                                                  ( x, y)   ( y, z)   ( z, x) 
                                    S   
                                         Du ,v
                                                 
                                                    (u , v )
                                                                 
                                                                      (u , v)
                                                                                   
                                                                                       (u, v)
                                                                                                  dudv.
                                                                                                  




                            Тройные интегралы.
    В качестве основной задачи, приводящей к тройному интегралу от функции
трех переменных, рассмотрим задачу вычисления массы неоднородного тела B с
переменной плотностью  ( x, y, z) .




     Разделим тело B на n фрагментов. Пусть Bi - один из этих фрагментов.
Выберем внутри этого фрагмента точку Pi (i ,i , i ). Обозначим через M i массу
вещества внутри Bi , через Vi – объем Bi . В силу непрерывности плотности при
достаточно малых размерах фрагмента, то есть, при малых значениях
     max      ( x  x)2  ( y  y)2  ( z  z)2  di можно считать,   что
( x, y, z),( x, y, z)Bi
                                                                        110

Страницы