Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 108 стр.

                              Свойства двойного интеграла.
     Эти свойства повторяют свойства интеграла функции одной переменной по
отрезку.
       1. Линейность. Двойной интеграл от линейной комбинации функций
   равен той же линейной комбинации двойных интегралов от этих функций
               f ( x, y)    g ( x, y) dx dy     f (x, y) dx dy     g (x, y) dx dy .
               D                                             D                  D
     2. Аддитивность. Если область D разбита на две части D1 и D2 , то
               f ( x, y)dx dy   f ( x, y)dx dy   f ( x, y)dx dy.
                   D                    D1                   D2

     3. Сохранение неравенства. Если f ( x, y)  g ( x, y) всюду в области D, то
                       D f ( x, y)dx dy  D g ( x, y)dx dy.
    Следствие. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции f ( x, y) в области D, имеющей площадь S , то
                          m  S   f ( x, y)dx dy  M  S .
                                    D


    4. Теорема о среднем. Если функция f ( x, y)  непрерывная в замкнутой
области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка ( , ), для
которой справедливо равенство
                       f ( x, y)dx dy  f ( , )  S ,
                                D
     где S площадь области D.



                      Вычисление двойного интеграла.
    Предположим, область D выпукла в направлении оси OY, то есть, что
граница области D пересекается любой прямой параллельной оси OY либо не
более, чем в двух точках, либо по одному отрезку.
    Пусть область D расположена между прямыми x  a, x  b, параллельными
оси OY. Эти прямые касаются границы области D или частично совпадают с
границей по отрезку.




                                                     108