Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 13 стр.

    При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
если вектор a имеет координаты ( x1, y1, z1 ) , а вектор b координаты ( x2 , y2 , z2 ) , то
вектор c  a  b имеет координаты ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) . Нетрудно показать,
используя свойства подобных треугольников, что линейные преобразования
векторов удовлетворяют следующему равенству:   (a  b )    a    b .

    Разложение вектора по базису. Используя координаты вектора и орты,
легко заметить, что вектор a с координатами ( x, y, z) представляет собой
следующую линейную комбинацию векторов-ортов: a  x  i  y  j  z  k . Такое
представление вектора называется разложением вектора по ортогональному
базису, где базисом является набор ортов (i , j , k ) . Базис называется
ортогональным, если векторы базиса взаимно перпендикулярны.




        В случае вектора на плоскости XOY ортогональным базисом является набор
(i , j ) . В соответствии с количеством векторов базиса плоскость называется
двумерным пространством, а пространство – трехмерным пространством.
Заметим, что базисом на плоскости может служить любая пара непараллельных
векторов, а базисом в трехмерном пространстве – любая тройка не лежащих в
одной плоскости векторов (не обязательно взаимно перпендикулярных). Любой
вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.


                       Скалярное произведение векторов.

       Скалярным произведением двух векторов a и b является число, равное
произведению                длин        векторов на косинус угла между ними:
(a, b )  a  b | a |  | b |  cos .




                                            13