Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14
Из определения скалярного произведения следует, что
2
( , ) | |a a a
. Заметим,
что в силу взаимной перпендикулярности скалярное произведение двух разных
ортов равно нулю, а скалярный квадрат орта равен 1.
Скалярное произведение обладает свойствами: 1)
( , ) ( , )a b b a
,
2)
1 2 1 2
), , ,(( ) ( ) ( )a a b a b a b 
.
Найдем выражение скалярного произведения с помощью координат. Пусть
вектор
a
имеет координаты
1 1 1
( , , )x y z
, а вектор
b
координаты
2 2 2
( , , )x y z
. Их
разложения по базису имеют вид
1 1 1
i j ka x y z
и
2 2 2
i j kb x y z
,
соответственно. Используя свойства скалярного произведения, получим
.
Используя скалярное произведение двух векторов, легко найти угол между
этими векторами. В соответствии с определением скалярного произведения
( , )
cos
| | | |
ab
ab
, следовательно,
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
12
12
arccos
x x y y z z
x y z x y z
.
Условие взаимной перпендикулярности векторов
a
и
b
:
( , ) 0ab
.
Векторное произведение векторов.
Векторным произведением двух векторов
a
и
b
является вектор
c
,
обладающий следующими свойствами:
1) его длина равна произведению длин двух векторов на синус меньшего угла
между ними,
2) он перпендикулярен плоскости, в которой лежат оба исходных вектора, а
значит, перпендикулярен каждому из исходных векторов,
3) его направление выбрано так, что векторы
a
,
b
и
c
составляют правую
тройку. То есть если направить средний палец правой руки по вектору
a
, а
большой – по вектору
b
, то указательный примет направление вектора
c
. 
    Из определения скалярного произведения следует, что (a, a ) | a |2 . Заметим,
что в силу взаимной перпендикулярности скалярное произведение двух разных
ортов равно нулю, а скалярный квадрат орта равен 1.

     Скалярное произведение обладает свойствами: 1) (a, b )  (b , a ) ,

     2) ((a1  a2 ), b )  (a1 , b )  (a2 , b ) .

      Найдем выражение скалярного произведения с помощью координат. Пусть
вектор a имеет координаты ( x1, y1, z1 ) , а вектор b координаты ( x2 , y2 , z2 ) . Их
разложения по базису имеют вид a  x1  i  y1  j  z1  k и b  x2  i  y2  j  z2  k ,
соответственно. Используя свойства скалярного произведения, получим
(a, b )  ( x1  i  y1  j  z1  k )  ( x2  i  y2  j  z2  k )  x1  x2  y1  y2  z1  z2 .

     Используя скалярное произведение двух векторов, легко найти угол между
этими векторами. В соответствии с определением скалярного произведения
          (a , b )
cos               , следовательно,
        | a || b |

                                                x1  x2  y1  y2  z1  z2
                              arccos                                        .
                                              x  y12  z12  x22  y22  z22
                                               1
                                                2




     Условие взаимной перпендикулярности векторов a и b : (a, b )  0 .
                   Векторное произведение векторов.

    Векторным произведением двух векторов a и b является вектор c ,
обладающий следующими свойствами:

   1) его длина равна произведению длин двух векторов на синус меньшего угла
между ними,

    2) он перпендикулярен плоскости, в которой лежат оба исходных вектора, а
значит, перпендикулярен каждому из исходных векторов,

    3) его направление выбрано так, что векторы a , b и c составляют правую
тройку. То есть если направить средний палец правой руки по вектору a , а
большой – по вектору b , то указательный примет направление вектора c .


                                                         14

Страницы