Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 16 стр.

                                          i   j k
                               [a , b ]  x1 y1 z1 .
                                          x2 y2 z2

    Выражение в правой части последнего равенства называется определителем
третьего порядка. Подробнее об определителях будет сказано в следующей
лекции, а сейчас следует запомнить, что данный определитель можно вычислить
следующим образом. Добавим в имеющуюся структуру, состоящую из трех строк
и трех столбцов снизу дополнительно две первые строки. В полученной
структуре, состоящей из трех столбцов и пяти строк, проведем всевозможные
диагонали от первого столбца к третьему, содержащие по три элемента из разных
столбцов. Значение определителя получается как сумма произведений по три
элемента, стоящих на одной диагонали, причем если диагональ идет сверху вниз
слева направо, берется знак +, если сверху вниз справа налево, берется знак –.

                                     i   j k
                                     x1 y1 z1
                                     x2 y2 z2
                                     i   j k
                                     x1 y1 z1

    Из определения векторного произведения следует, что векторное
произведение двух ненулевых векторов a и b равно нулю тогда и только
тогда, когда векторы a и b параллельны.


                       Смешанное произведение векторов.

    Смешанным произведением трех векторов a , b и c называется скалярное
произведение a  b  c  ([a, b ], c ) . Из определений скалярного и векторного
произведений следует, что если все три вектора a , b и c , участвующие в
смешанном произведении, лежат в одной плоскости, то a  b  c  0 .

       Если координаты векторов a , b                              и c равны, соответственно,
( x1, y1, z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) и ( x3 , y3 , z3 ) , то смешанное произведение вычисляется с
                                                                            x1 y1 z1
помощью определителя третьего порядка: a  b  c  (a , b , c )  x2 y2 z2 .
                                                                            x3 y3 z3


                      Векторы произвольной размерности.
    По аналогии с двумерными и трехмерными векторными пространствами
рассматривают векторные пространства X размерности n , где n – произвольное
                                             16