Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 133 стр.

      1.      Попробуем решить такую задачу: сколькими способами можно
рассадить на n пронумерованных стульях n гостей? На первый стул можно
посадить любого из n гостей. Выбрав одного из них, на второй стул можно
усадить уже одного из оставшихся (n – 1) претендентов. Выбрав и этого, на
третий стул выбираем одного из (n – 2) гостей… . На последний стул претендент
будет только один. Таким образом, если двигаться от конца процесса, мы получим
1 2  3... n  n! вариантов.

     Взаимно однозначное отображение конечного упорядоченного множества на
себя     называется   подстановкой      элементов     множества.    Каждая
последовательность элементов конечного множества с учетом порядка
называется перестановкой этих элементов и обозначается Pn . Перестановки не
меняют элементов множества или их количества, они меняют порядок элементов.
Таким образом, число всевозможных перестановок в множестве из n элементов
Pn = n!.

    2.     Представим теперь, что, как в предыдущей задаче, у нас n
пронумерованных стульев, но мы рассаживаем на них m претендентов, причем
m > n. Конечно, всех усадить мы не сможем, но хотим выяснить, сколько
имеется вариантов рассаживания. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче,
видим, что на 1-й стул имеется m претендентов, на второй (m – 1), на третий
(m – 2),….,     на n-й стул остается (m – n + 1) претендент. Итак, число
вариантов равно

                                                                     m!
                     (m  n 1)  (m  n  2) ... (m 1)  m             .
                                                                   (m  n)!

    Любой упорядоченный набор n различных элементов множества, состоящего
из m элементов, называется размещением из m по n, число таких размещений
обозначается Amn . Таким образом,

                                                  m!
                                        Amn =            .
                                                (m  n)!

      3. Рассмотрим теперь несколько другую задачу, где мы «раздаем» не
  сидячие места на пронумерованных стульях (как известно, человек не может
  сидеть одновременно более, чем на одном стуле), а, например, n раритетных
  книг группе страстных библиофилов, состоящей из m человек. Сколько
  вариантов раздачи n книг m претендентам? На первую книгу у нас m
  претендентов, на вторую – тоже m претендентов, и так далее. Следовательно,
  мы имеем mn вариантов распределения книг между претендентами.

    Любой упорядоченный набор n элементов множества, состоящего из m
элементов, называется размещением с повторением из m по n и равен mn .


                                         133