Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

135
П р и м е р 1. Сосчитаем сумму ряда
1
, | | 1
k
k
q q
. Имеем согласно формуле
суммы геометрической прогрессии
1
1
1
k
n
n
k
n
q
s q q
q

. Поскольку
0
n
q
при
n
, получим
1
k
k
q
=
1
q
q
.
Заметим, что при
| | 1q
соответствующий ряд расходится.
П р и м е р 2. Сосчитаем сумму ряда
1
1
( 1)
k
kk
. Имеем
следовательно,
1
1
1
( 1)
k
kk
.
Необходимым признаком сходимости числового ряда является условие:
lim 0
n
n
a

. Доказывается это легко: пусть ряд
1
k
k
a
сходится, то есть существует
lim
n
n
ss

. При
n
справедливо:
1n 
. Следовательно,
1
lim
n
n
ss

.
Поскольку
1
nn
n
s s a

, то из 1-го и 2-го свойств пределов последовательностей
имеем:
1
lim lim( ) 0
nn
n
nn
a s s
, что и требовалось доказать.
Заметим, что необходимое условие сходимости не является достаточным. То
есть, стремление к нулю общего члена ряда не обеспечивает его сходимость.
К о н т р п р и м е р. Покажем, что ряд
1
1
k
k
, называемый гармоническим
рядом, расходится. Для этого рассмотрим последовательность частных сумм
2
n
s
,
то есть частные суммы
2 4 8
, , ,....sss
. При суммировании членов конечной суммы
2
n
s
сгруппируем рядом стоящие члены суммы, начиная от
1
21
l
до
1
1
2
l
, при
всех
1,..., 1ln
:
Таким образом,
2
lim
n
n
s


, и значит, предел последовательности частных
сумм не может быть конечным. 
                                                           
     П р и м е р 1. Сосчитаем сумму ряда               
                                                       k 1
                                                            q,     k
                                                                           | q | 1 . Имеем согласно формуле
                                                       n
                                                                               q n 1
суммы геометрической прогрессии sn   q k  q                                       . Поскольку qn  0 при
                                                   k 1                        q 1
                        
                           q
n   , получим     
                    k 1
                         q
                        1 q
                             k
                               . =

     Заметим, что при | q | 1 соответствующий ряд расходится.

                                                               
                                                                           1
     П р и м е р 2. Сосчитаем сумму ряда                   
                                                           k 1 k (k  1)
                                                                          .         Имеем

              1    1                 1      2 1 3  2         n 1  n
           sn          ...                        ...           
             1 2 2  3          n(n 1) 1 2 2 3             n( n 1)
              1 1 1              1 1            1
          1    ...                  1      ,
              2 2 3              n n 1        n 1
                      
                               1
     следовательно,                  1.
                     k 1 k ( k  1)

     Необходимым признаком сходимости числового ряда является условие:
                                                                       
lim a  0 . Доказывается это легко: пусть ряд
n n                                                              
                                                                   k 1
                                                                        ak сходится, то есть существует

lim s
n n
        s.   При           n   справедливо:    n 1   . Следовательно,                      lim s
                                                                                                 n n1
                                                                                                            s.
Поскольку sn  sn1  an , то из 1-го и 2-го свойств пределов последовательностей
имеем: nlim a  nlim(
          n      n
                      s  sn1)  0 , что и требовалось доказать.

     Заметим, что необходимое условие сходимости не является достаточным. То
есть, стремление к нулю общего члена ряда не обеспечивает его сходимость.
                                                                       
                                                                           1
     К о н т р п р и м е р. Покажем, что ряд                           
                                                                       k 1 k
                                                                              , называемый гармоническим

рядом, расходится. Для этого рассмотрим последовательность частных сумм s2n ,
то есть частные суммы s2 , s4 , s8 ,.... . При суммировании членов конечной суммы
                                                                                           1        1
s2n сгруппируем рядом стоящие члены суммы, начиная от                                           до      , при
                                                                                         2l  1    2l1
всех l  1,..., n 1:
                   1 1 1        1         1           1         1
           s2n  1  (  )  (  ...  )  ...  ( n1  ...  n ) 
                   2 3 4        5         8        2 1        2
                 1    1    1               1         1
            1  2   4   ...  2n1  n  1 n  .
                 2    4    8              2          2
     Таким образом, nlim s   , и значит, предел последовательности частных
                       2n
сумм не может быть конечным.


                                                 135

Страницы