Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 137 стр.

        Доказательство. Из определения предела при  
                                                                              K
                                                                                найдем            N такое, что
                                                                              2
    an        K                                      3             2
|       K |   при любом n  N . Следовательно, an  K  bn , bn   an при
    bn        2                                      2             K
                                                                                        
n  N . Согласно теореме сравнения 1 ряды                       ak  N
                                                               k 1
                                                                              и          
                                                                                         k 1
                                                                                              bk  N сходятся   или
расходятся одновременно. Согласно свойству 2 сходящихся рядов теорема

        доказана.

                                             
                                              3k 7  8
        П р и м е р. Числовой ряд   
                                    k 1 10 k 9
                                                 6k 3
                                                        4
                                                           сходится, так как его можно
                                 
                                          1
сравнить со сходящимся рядом                   , рассмотренным выше. Действительно,
                                k 1 k ( k  1)
                (3n  8)n(n 1) 3
                   7
существует nlim                  , и можно применить теорему сравнения 2.
              (10n9  6n3  4) 10


    Два следующих достаточных условия сходимости числовых рядов с
положительными членами, называются признаками сходимости.               Здесь
приводятся доказательство на основе теоремы сравнения только одного из них.

                                                                          an1
        Признак Даламбера. Пусть существует nlim
                                              
                                                                                p . Если p  1, то ряд
                                                                           an
    

k 1
     ak сходится, если      p  1, то этот ряд расходится.
                                                                                             
                                                                                                 1000n
        П   р   и    м      е   р.   Исследуем           сходимость           ряда           
                                                                                             n1   n !
                                                                                                       .    Здесь

        1000n          1000n1                                 an1        1000
an           , an1           .     Так        как     lim         nlim       0,              данный        ряд
          n!            (n 1)!                          n    an       n 1
сходится.

        Признак Коши. Пусть существует                     lim n an  p . Если
                                                           n
                                                                                                 p  1, то ряд
    

k 1
     ak сходится, если      p  1, то этот ряд расходится.
        Доказательство. Пусть p  1. Возьмем   (1 p)/ 2 и найдем N такое, что

    | n an  p |  при n  N .
Следовательно, n an    p            p 1 и
                                         1
                                                         an  p n при n  N . Согласно теореме
                                                                      1
                                                                                 
сравнения 1 ряд       ak  N сходится, так как сходится ряд  p1k . Следовательно,
                     k 1                                                         k 1

и исходный ряд сходится.
                                                   137