Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 138 стр.

    Пусть p  1. Возьмем   ( p 1)/ 2 и найдем N такое, что

| n an  p |  при n  N . Следовательно,                       n a   
                                                                    n          p  p2  1 и an  p2n
                                                                         
при n  N . Согласно теореме сравнения 1 ряд                              
                                                                          k 1
                                                                               ak  N    расходится, так как
                       
расходится ряд        
                      k 1
                           p 2
                                 k
                                     . Следовательно, и исходный ряд расходится.

                                                                                  
                                                                                         n2
    Пример.             Исследуем                 сходимость         ряда         
                                                                                  n1 (2  1 )n
                                                                                                .     Так    как
                                                                                           n
                      n n2  1
lim n an
n
            nlim
               
                            , данный ряд сходится.
                         1 2
                      2
                         n

    Следующий признак основан на сравнении ряда и несобственного интеграла,
подынтегральная функция которого при натуральных значениях аргумента
превращается в члены ряда.
                                                                              
    Интегральный признак. Пусть члены ряда                                    
                                                                              k 1
                                                                                   ak монотонно       убывают с

ростом n . Если              функция f ( x) такова, что f (n)  an , то сходимость или
                                       
расходимость           ряда            
                                       k 1
                                            ak равносильна         сходимости           или         расходимости
                                           
несобственного интеграла                   1 f ( x)dx .
    Данный признак дает возможность сделать вывод о сходимости или
                                           
                                                1
расходимости ряда вида                     
                                           k 1 k
                                                   ,   при том, что два предыдущих признака не

позволяют это сделать, так как в обоих случаях здесь p  1. Вспомним, что
                                           
                                              dx
несобственный интеграл                     1 x сходится при   1 и расходится при   1.
                  
                       1
Поэтому ряд       
                  k 1 k
                            сходится при   1 и расходится при   1.


                                           Знакопеременные ряды

   Для знакопеременных рядов приведенные признаки сходимости также
можно применять, но для исследования абсолютной сходимости. Дело в том, что
                                                                     
если ряд   | ck | сходится, то сходится и ряд
           k 1
                                                                     
                                                                     k 1
                                                                          ck , причем в этом случае ряд

                                                           138