Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 140 стр.

                                     Функциональные ряды

       Пусть  f n ( x)     , x  M , – последовательность функций, заданных на одном
                       nN
                                                                                             
и том же множестве, причем при каждом значении x0  M числовой ряд                          
                                                                                            k 1
                                                                                                 f k ( x0 )
                                                                                        
сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд                              
                                                                                       k 1
                                                                                            f k ( x)   на

множестве M и исследовать свойства функции s( x) – суммы ряда – на том же
множестве M .


    В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим
следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости
функционального ряда: если an  0 такое что x  M , n  N (| f n ( x)| an ) и ряд
                                                                                             
с положительными членами                
                                        k 1
                                             ak    сходится, то функциональный ряд           
                                                                                             k 1
                                                                                                  f k ( x)
абсолютно сходится на множестве M .


                             Степенные ряды
       Простейшим примером функционального ряда является степенной ряд – ряд
         
вида    
        k 0
             ck ( x  a)k . Числа   ck , k  0,1,... , называются коэффициентами степенного
ряда. Поскольку простой заменой переменной x  x  a исходный степенной ряд
                           
превращается в ряд         
                           k 0
                                ck xk , мы будем рассматривать только степенные ряды вида
 

k 0
     ck xk . Очевидно, что такой ряд обязательно сходится в точке                 x  0 . Ответом на
вопрос об области сходимости степенного ряда дает
                                                    
       Теорема Абеля. Пусть ряд                    
                                                   k 0
                                                        ck xk   сходится в точке x  x1 , тогда он

сходится, причем абсолютно, при x, | x || x1 | .
                       
       Пусть ряд      
                      k 0
                           ck xk    расходится в точке x  x2 , тогда он расходится при

x, | x || x2 | .
                                                   
       Доказательство. Так как ряд                
                                                  k 0
                                                       ck x k
                                                           1    сходится, то общий член этого ряда

стремится к нулю, и значит, ограничен, то есть, M  0 такое что | ck x1k | M .


                                                        140