Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 142 стр.

                                                                               
                                                                                   1
     Проверим сходимость в точке x  1. Имеем ряд                             
                                                                              n 1 n p , который сходится,

если p  1 и расходится, если p  1.
                                                                                         
                                                                                            (1)n
     Проверим сходимость в точке x  1. Имеем ряд                                      
                                                                                        n1  n p , который

сходится, если p  0 и расходится, если p  0 .

    Замечание. Внутри интервала сходимости ряд можно почленно
интегрировать и дифференцировать любое число раз. Это значит, что если
                                              b                     b
 ck x
k 0
         k
              s( x), | x | R , то 1)  s( x)dx   ck  xk dx, | a |,| b | R ,
                                               a              k 0    a
                          
     2) (s( x))( m)    
                        k m
                             ck (xk )   ( m)
                                               , | x | R .



         Связь между коэффициентами степенного ряда и его суммой
                         
     Итак, пусть        
                        k 0
                             ck xk  s( x),         | x | R . Положим x  0 , тогда получим:
                                                               c0  s(0) .
                                                                             
Возьмем производную от членов ряда и его суммы:                              
                                                                             k 1
                                                                                  ck kxk 1  s( x),    | x | R, и
положим x  0 . Тогда c1  s(0) . Продолжая процесс дифференцирования,
получим: n!cn  s( n) (0) .
                              s(n) (0)
     То есть, cn                      . Таким образом, коэффициенты степенного ряда
                                 n!
являются коэффициентами формулы Тейлора для суммы ряда.


     Поставим вопросы: если для произвольной функции                                         f ( x) , имеющей
                                                                                                   
                                                                                                         f ( k ) (0) k
бесконечное число производных в точке x  0 построить ряд                                         
                                                                                                  k 0       k!
                                                                                                                    x ,
называемый рядом Тейлора функции f ( x) , то
    1) где он будет сходиться, и

     2) если будет сходиться, то будет ли сходиться к самой функции f ( x) ?


     Ответы на поставленные вопросы.




                                                                142