Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

143
1) Так как ряд Тейлора
()
0
(0)
!
k
k
k
f
k
x
– это степенной ряд, то для него
обычным образом можно находить радиус и интервал сходимости. То есть,
()
()1
(0)
(0)
| |( 1)
lim
||
n
n
n
fn
R
f

.
2) Так как частная сумма ряда Тейлора – это многочлен из формулы
Тейлора
()
0
(0)
!
k
n
k
k
f
k
x
, то разность между частной суммой и функцией
()fx
согласно формуле Тейлора есть остаточный член формулы Тейлора. Мы его
рассматривали в форме Лагранжа:
()
()
, 0 1
!
()
n
n
n
fx
r x x
n

. Таким образом,
если внутри интервала сходимости остаточный член формулы Тейлора
стремится к нулю с ростом
n
, то сумма ряда Тейлора совпадает с исходной
функцией, по которой построен ряд. И тогда говорят, что функция
()fx
представима в виде ряда Тейлора, то есть
()
0
(0)
!
()
k
k
k
f
k
fx x
.
Примеры разложения функций в ряды Тейлора
Пример 1. Рассмотрим функцию
x
e
. В соответствии с формулой Тейлора-
Маклорена
,
где
max{ ,0}
1
||
( 1)!
| ( )|
x
n
n
x
n
r x e
.
Сосчитаем радиус сходимости степенного ряда:
( 1)!
lim lim( 1)
!
nn
n
Rn
n
.
Таким образом, этот ряд сходится во всех точках вещественной оси. Для того,
чтобы выяснить, будет ли сходиться ряд
0
!
k
k
x
k
к функции
x
e
, заметим, что при
любом значении
Rx
имеем
||
1
||
0
( 1)!
| ( )|
x
n
n
x
n
r x e

при
n
.
Следовательно,
0
!
k
x
k
x
e
k
при всех
Rx
.
Пример 2. Рассмотрим функцию
xxf sin
. В соответствии с формулой
Тейлора-Маклорена 
                                                     
                                                           f ( k ) (0) k
      1)    Так как ряд Тейлора                     
                                                    k 0       k!
                                                                      x – это степенной ряд, то для него
обычным образом можно находить радиус и интервал сходимости. То есть,
         | f ( n) (0) | (n 1)
R  nlim                       .
           | f ( n1) (0) |

      2)    Так как частная сумма ряда Тейлора – это многочлен из формулы
              n
                    f ( k ) (0) k
Тейлора      
             k 0       k!
                               x , то разность между частной суммой и функцией                               f ( x)
согласно          формуле Тейлора есть остаточный член формулы Тейлора.                                   Мы его
                                                                         f     ( x) n
                                                                             (n)
рассматривали в форме Лагранжа:                            rn ( x)                 x , 0  1.   Таким образом,
                                                                              n!
если внутри интервала сходимости остаточный     член формулы     Тейлора
стремится к нулю с ростом n , то сумма ряда Тейлора совпадает с исходной
функцией, по которой построен ряд. И тогда говорят, что функция f ( x)
представима в виде ряда Тейлора, то есть
                                        
                                              f ( k ) (0) k
                            f ( x)                     x .
                                       k 0       k!


                    Примеры разложения функций в ряды Тейлора

      Пример 1. Рассмотрим функцию e x . В соответствии с формулой Тейлора-
                        x  x 2 x3 x n
Маклорена e x        1     rn  x  ,
                        1! 2! 3!  n!
                                              n1
      где     | rn ( x)| emax{x,0}  | x |         .
                                        (n 1)!
Сосчитаем радиус сходимости степенного ряда:
                                   (n 1)!
                     R  nlim
                           
                                            nlim(
                                               
                                                   n 1)   .
                                     n!
Таким образом, этот ряд сходится во всех точках вещественной оси. Для того,
                                                                     
                                                                        xk
чтобы выяснить, будет ли сходиться ряд                             
                                                                   k 0 k !
                                                                            к функции e x , заметим, что при
                                                                                    n1
любом       значении         x R           имеем           | rn ( x)| e|x|  | x |  0      при     n  .
                                                                              (n 1)!
                              
                                  xk
Следовательно, e x                        при всех x R .
                             k 0 k !


    Пример 2. Рассмотрим функцию f x   sin x . В соответствии с формулой
Тейлора-Маклорена

                                                               143

Страницы