Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 145 стр.

                          m
                              m(m 1)(m  2)...(m  n 1) n      m
      (1 x)m  1                                      x  1  Cmn xn ,
                          n1            n!                     n1

а полученная формула носит название «бином Ньютона».



                 Примеры приложений рядов Тейлора.
    Представленные в предыдущем пункте канонические разложения могут
служить основой для получения новых разложений. Так, положив   1 в
последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечной
геометрической      прогрессии      со       знаменателем       ( q ) :
                                    1
1 q  q2  ...  (q) n  ...         . Заменив в этой формуле q на (q) , получим:
                                   1 q
                                1
1 q  q2  ...  qn  ...         .
                               1 q

     Заменим в последней формуле q на t 2 , мы получим разложение
              
       1
              (t 2 )n , | t | 1 . Последний ряд имеет радиус сходимости, равный 1.
      1 t n0
          2


Вспомним, что внутри интервала сходимости ряды можно интегрировать
почленно и проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до
                                                                  
                                                                             x2n1
      x, | x | 1, тогда получим разложение:            arctg x   (1)n          .
                                                                 n0         2n 1
                                                                       
                                                                    (1)n1 xn
    Еще легче получить разложение                 ln(1 x)                   ,  если
                                                                n1     n
                                                                 1
проинтегрировать почленно ряд 1 t  t 2  ...  (t )n  ...        внутри интервала
                                                                1 t
сходимости , то есть при | t | 1 .



     Разложения функций ex , sin x и cos x в ряды Тейлора, справедливые для
всех вещественных x , оказываются такими же и в случае, когда x – комплексное
число. Пусть x  i  t , где i – мнимая единица, то есть, i 2  1, а t – вещественное
число. (Заметим, что i3  i , i 4  1). Разложим eit в ряд Тейлора:
                 t 2 t3 t 4 t5 t6 t7             t2 t4 t6
      eit  1 i  t 
                     i   i   i  .....  (1    ...) 
                 2! 3! 4! 5! 6! 7!               2! 4! 6!
            t3 t5 t7
      i(t     ....)  cos t  i  sin t.
            3! 5! 7!

                                                  145