Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

146
Вот эта формула, выражающая связь между
, sin
x
xe
и
cosx
в случае
комплексных переменных, и называется формулой Эйлера.
Ряды Тейлора служат для приближения многих функций. Дело в том, что
арифметические операции, которые проводятся точно – это операции умножения
на число (а следовательно, и возведение в целую положительную степень) и
сложение. Поэтому вычисление значений многих известных функций, например,
,sin ,cos ,ln
x
e x x x
, сводится к вычислению значений близких к этим функциям
многочленов – частных сумм соответствующих рядов Тейлора. Эти суммы
заложены в программу вычислений наших калькуляторов.
Частные суммы ряда Тейлора
()
0
(0)
!
k
n
k
k
f
k
x
для произвольной функции
()fx
можно получать с помощью программы MAXIMA. Для того, чтобы
получить
()
0
(
()
!
)
k
n
k
k
f
k
a
xa
для конкретной функции
()fx
, следует набрать
taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.
Пример. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням
( 1)x
для
функции
следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим
2 3 4 5 6
7
-1-3( -1) /2 11( -1) /6-25( -1) /12 137( -1) /60-49( -1) /20
363( -1) /140 .
x x x x x x
x

Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией
ln x
x
(синий график) на одном рисунке. Для этого введем load(draw);
draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red,
explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2)) 
    Вот эта формула, выражающая связь между ex , sin x и cos x в случае
комплексных переменных, и называется формулой Эйлера.

      Ряды Тейлора служат для приближения многих функций. Дело в том, что
арифметические операции, которые проводятся точно – это операции умножения
на число (а следовательно, и возведение в целую положительную степень) и
сложение. Поэтому вычисление значений многих известных функций, например,
ex ,sin x,cos x,ln x , сводится к вычислению значений близких к этим функциям
многочленов – частных сумм соответствующих рядов Тейлора. Эти суммы
заложены в программу вычислений наших калькуляторов.
                                                 n
                                                       f ( k ) (0) k
       Частные суммы ряда Тейлора               
                                                k 0       k!
                                                                  x    для произвольной функции

 f ( x) можно получать с помощью программы MAXIMA. Для того, чтобы
             n
               f ( k ) ( a)
получить                   ( x  a)k для конкретной функции f ( x) , следует набрать
             k 0   k!
taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.

       Пример. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням ( x 1) для
               ln x
функции                 следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы                         получим
                 x
x -1-3( x -1)2 / 2 11( x -1)3 / 6- 25( x -1)4 /12 137( x -1)5 / 60- 49( x -1)6 / 20 
363( x -1)7 /140  .
       Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией
ln x
        (синий график) на одном рисунке. Для этого введем load(draw);
 x
draw2d(color=blue,                    explicit(log(x)/x,x,0.2,2),                         color=red,
explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2))




                                                146

Страницы