Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 148 стр.

     Теперь для того, чтобы, например, найти am умножим обе части равенства
                a0           2 kx          2 kx           2 mx и проинтегрируем на
      f ( x)        ak cos        bk sin         на cos
                 2 k 1        T               T               T
отрезке [T / 2,T / 2] . С учетом свойств гармоник в правой части равенства
                                            2
останется только слагаемое am , а в левой части –                                выражение
                                           T
                 2 mx . Отсюда мы получим
 T /2

  
T /2
      f ( x )cos
                   T
                      dx                            am .

                         2 mx
      Умножая на sin            и интегрируя, получим bm .
                           T
      А для того, чтобы получить a0 , нужно просто проинтегрировать обе части
                     a     
                                    2 kx           2 kx
равенства f ( x)  0   ak cos             bk sin       на отрезке [T / 2,T / 2] .
                      2 k 1          T              T

    Таким образом, непрерывная периодическая функция                       f ( x) представима в
виде следующего тригонометрического ряда Фурье:
                 a0          2 kx          2 kx
      f ( x)        ak cos        bk sin       ,                                            где
                 2 k 1        T              T
                        2 kx                                              2 kx
        T /2                                               T /2
     2                                                  2
     T T/2                                            T T/2
ak          f ( x )cos       dx, k  0,1,2,.... , bk          f ( x )sin       dx, k  1,2,....
                         T                                                  T

    В случае, когда периодическая функция имеет точки разрыва, ее также
можно раскладывать в ряд Фурье, но равенство функции и суммы ряда будет
только в точках непрерывности функции. В точках разрыва ряд Фурье будет
сходиться к полусумме значений функции слева и справа от точки разрыва:
a0          2 kx0          2 kx0 1
    ak cos         bk sin        ( f ( x0  0)  f ( x0  0)) .
2 k 1         T               T    2

       Возможно разложение функции в ряд Фурье с помощью MAXIMы. Мы
получим все коэффициенты ряда Фурье для функции f ( x) , заданной на отрезке
[T ,T ] и T -периодически продолженной на всю вещественную ось, если введем
load(fourie); fourier(f(x),x,t) и нажмем Shift+Enter.
       Пример. Получим коэффициенты               ряда Фурье для     функции
 f ( x)  e ,   x   . Для этого введем load(fourie); fourier(%e^x,x,%pi),
           x

нажмем Shift+Enter и получим




                                                148