Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 147 стр.

     Мы видим, что красный и синий графики сливаются в окрестности точки
x  1 и удаляются друг от друга при удалении аргумента от значения 1. Это
свидетельствует о том, что частные суммы рядов Тейлора приближают функцию
только в окрестности точки x  1.


                                 Тригонометрические ряды Фурье

     В различных отраслях науки, в том числе, в физике приходится иметь дело с
периодическими явлениями. Простейший пример – электрические колебания.
Периодической называется функция f ( x) , для которой существует такая
величина, называемая периодом, что              f ( x)  f ( x  T ) . Простейшими
T  периодическими функциями являются тригонометрические функции вида
      2 kx      2 kx
sin         ,cos       ,          где   k–     целое       число,     называемые   гармониками.
       T          T
Представление периодической функции в виде суммы гармоник называется
гармоническим анализом. В случае, когда такая сумма бесконечна, мы получаем
тригонометрический ряд, называемый рядом Фурье.

       Итак, пусть непрерывная T  периодическая функция f ( x) представлена в
                                                 a0            2 kx          2 kx
виде         тригонометрического             ряда:     ak cos
                                                           f ( x)     bk sin       .
                                                  2 k 1         T              T
Возникает вопрос: как найти коэффициенты a0 , ak , bk , k  N ?
       Воспользуемся тем, что гармоники обладают следующим свойством:
                     2 kx
        T /2

        
       T /2
             cos
                      T
                           dx  0 ,

                     2 kx
        T /2

         
       T /2
               sin
                      T
                           dx  0 ,

                     2 lx     2 mx
       T /2

        
       T /2
             cos
                      T
                           sin
                                 T
                                     dx  0, l, m  N ,

                     2 lx     2 mx
        T /2

         cos
       T /2
                      T
                           cos
                                 T
                                     dx  0, l, m  N, l  m ,

                     2 lx     2 mx
        T /2

        
       T /2
             sin
                      T
                           sin
                                 T
                                     dx  0, l, m  N, l  m ,

                         2 lx
        T /2
                                   2
         
       T /2
               cos2
                          T
                               dx  ,
                                   T
                         2 lx
       T /2
                                   2
                              dx  .
                     2
             sin
       T /2
                          T        T


                                                     147