Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

144
1
3 5 2 1
1
1 1 1
sin
1! 3! 5!
2 1 !
n
n
n
x x x x x r x
n
,
где
21
(2 1)!
||
| ( )|
n
n
n
x
rx
. То есть,
(2 1)!
lim
(2 1)!
n
n
R
n

и
0()
n
rx
при
n
.
Следовательно,
1
1
21
1
sin
2 1 !n
n
n
xx
n
при всех
Rx
.
Пример 3. Рассмотрим функцию
.cosxxf
В соответствии с формулой
Тейлора-Маклорена
где
2( 1)
(2 2)!
||
| ( )|
n
n
n
x
rx
. То есть,
(2 2)!
lim
(2 )!
n
n
R
n

и
0()
n
rx
при
n
.
Следовательно,
0
2
1
cos
2!n
n
n
xx
n
при всех
Rx
.
Пример 4. Рассмотрим функцию
,(1 )f x x

N
. В соответствии
сформулой Тейлора-Маклорена при
N
2
2!
( 1) ( 1)( 2)...( 1)
(1 ) 1 ... ( )
!
n
n
n
x x x x r x
n
.
Найдем радиус сходимости этого степенного ряда:
1
lim 1
n
n
R
n


.
Для оценки остаточного члена при
n
, больших или равных целой части
, форма
Лагранжа остаточного члена годится только для
0x
. В этом случае имеем
оценку:
( 1)
|
| ( 1)( 2)...( )
|
( 1)!
| ( )|
n
n
n
x
n
rx
. Очевидно, что при
01x
имеем
0()
n
rx
при
n
. Для отрицательных значений
x
применяется другая
форма остаточного члена. В результате для
| | 1x
справедливо представление
1
( 1)( 2)...( 1)
(1 ) 1
!
n
n
n
xx
n
.
В случае, когда
m
– натуральное число, производные функции
(1 )
m
x
порядка выше, чем
m
, обращаются в 0. Следовательно, коэффициенты ряда при
степенях выше
m
– нулевые, и значит, от ряда останется только конечная сумма,
содержащая
1m
слагаемое. Разложение это имеет вид 
                                                      n1
             1   1    1
      sin x  x  x3  x5 
                                  1 x2n1  r  x  ,
             1! 3!    5!         2n 1 !      n


                            2n1
                       | x |                         (2n  1)!
      где | rn ( x) |           . То есть, R  nlim             и rn ( x)  0 при             n  .
                       (2n  1)!                           (2n 1)!
                                               n1

Следовательно,         sin x  
                                   1 x2n1 при всех x R .
                                   


                                  2n 1 !
                                n 1



    Пример 3. Рассмотрим функцию f x   cosx. В соответствии с формулой
Тейлора-Маклорена
                                        1 x2n  r  x  ,
                                                               n
                   1    1    1
        cos x  1  x2  x4  x6 
                   2!   4!   6!         2n !                           n



                       2(n1)
                                                             (2n  2)!
где   | rn ( x)| | x |         . То есть, R  nlim                      и rn ( x)  0 при n  .
                    (2n  2)!                                (2n)!
                                  1 x2n
                                               n
                                    
Следовательно,         cos x                       при всех x R .
                                  2n  !
                                   n 0



      Пример 4. Рассмотрим функцию                       f  x   (1 x) ,   N . В соответствии
сформулой Тейлора-Маклорена при   N

       (1 x)  1  x 
                                 ( 1) x2  ...   ( 1)(  2)...(  n 1) xn  r ( x) .
                                                                                       n
                                          2!                            n!

                                                                             n 1
Найдем радиус сходимости этого степенного ряда: R  nlim                           1.
                                                                            n

Для оценки остаточного члена при n , больших или равных целой части  , форма
Лагранжа остаточного члена годится только для x  0 . В этом случае имеем
                    |  ( 1)(  2)...(  n) ( n1)
оценку: | rn ( x)|                            | x|    . Очевидно, что при 0  x  1 имеем
                                    (n  1)!
rn ( x)  0
          при n  . Для отрицательных значений x применяется другая
форма остаточного члена. В результате для | x | 1 справедливо представление
(1 x)  1 
                
                      ( 1)(  2)...(  n 1) xn .
               n1                        n!

    В случае, когда   m – натуральное число, производные функции (1 x)m
порядка выше, чем m , обращаются в 0. Следовательно, коэффициенты ряда при
степенях выше m – нулевые, и значит, от ряда останется только конечная сумма,
содержащая m 1 слагаемое. Разложение это имеет вид

                                                       144

Страницы