Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 141 стр.

                                                           k                               k
                                                                                 
                                                    x . Так как ряд                    x сходится, то по
       Пусть | x || x1 | тогда | ck xk | M
                                                    x1                          
                                                                                k 1
                                                                                     M
                                                                                       x1
                                                                   
теореме сравнения абсолютно сходится ряд                         
                                                                 k 0
                                                                      ck xk .
                                                          
       Так как            ck x2k расходится, то
                         k 0
                                                       
                                                       k 0
                                                            ck xk      не может сходиться ни при каких

значениях x, | x || x2 | , так как в противном случае он бы сходился, в соответствии
с доказанной частью теоремы, и при x  x2 .
     Из теоремы Абеля следует, в частности, что область сходимости степенного
             
ряда        
            k 0
                 ck xk         представляет собой некоторый интервал (R, R) , а область

расходимости – внешность этого интервала. Что касается двух точек x   R ,
являющихся границами этого интервала, то сходимость или расходимость ряда в
этих точках следует проверять для каждой функции индивидуально.




    Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал
(R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

             Способы определения радиуса сходимости степенного ряда

       1.           В             соответствии         с           признаком           Даламбера        если
                 n1                               
      | cn1x |          | cn1 || x |                                         | cn1 || x |
lim
n           n1
        | cn x |
                   nlim
                       | c |
                               n
                                        1 , то   
                                                  k 0
                                                       | ck xk |       сходится, если nlim
                                                                                  | cn |
                                                                                              1 , то

                                                                            | cn1 | R
ряд    
       k 0
            | ck xk |    расходится. Следовательно, при | x | R имеем: nlim
                                                                           | c |
                                                                                   n
                                                                                           1 или

                | cn |
R  nlim
      
                       .
              | cn1 |
                                                                                          1
       2. Аналогично используя признак Коши, получим R                                             .
                                                                                     lim n | cn |
                                                                                     n
                                                                                               
                                                                        xn
    П р и м е р 1. Найти область сходимости степенного ряда  p . Найдем
                                                                   n 1 n
                              1                           (n 1) p
радиус сходимости. Здесь cn  p . Следовательно, R  nlim
                                                       
                                                                   1.
                             n                               np

                                                           141