Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

139
1
k
k
c
называется абсолютно сходящимся. Таким образом, если имеется
знакопеременный ряд
1
k
k
c
, имеет смысл проверить возможность применения
какого-либо признака сходимости к ряду
1
||
k
k
c
, и если условия сходимости
выполняются, исходный ряд
1
k
k
c
сходится абсолютно.
П р и м е р. Ряд
1
( 1)
k
k
k
сходится абсолютно при
1
.
Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Пусть члены
положительной последовательности
k
a
, монотонно убывая, стремятся к нулю при
k 
. Тогда ряд
1
1
( 1)
k
k
k
a
сходится.
Доказательство. Рассмотрим последовательность четных частных сумм
.
Очевидно, что с ростом
n
значения
2n
s
возрастают. Теперь запишем эту же
частную сумму в ином виде:
2 1 2 3 2 2 2 1 2
))( ...... (
n n n n
s a a a a a a

.
Очевидно, что
21n
sa
. Таким образом, мы имеем монотонно возрастающую
ограниченную сверху последовательность
2n
s
. По одному из свойств
последовательностей существует
2
lim
n
n
ss

. Итак, последовательность частных
сумм с четными номерами имеет предел. Что же с нечетными частными суммами?
Так как
2 1 2 2 1n n n
s s a


и
21
lim 0
n
n
a

, то существует
2 1 2 2 1
lim lim lim
n n n
n n n
s s a s


. Следовательно, существует
lim
n
n
ss

.
Пример. Ряд
1
( 1)
k
k
k
сходится по признаку Лейбница при любом
0
.
В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы показали,
что этот ряд при
1
сходится абсолютно. При
01

ряд не может
абсолютно сходиться. Но он сходится по признаку Лейбница.
Ряд, сходящийся, но не сходящийся абсолютно, называется условно
сходящимся. 
 

k 1
     ck называется    абсолютно                сходящимся.        Таким        образом,    если   имеется
                               
знакопеременный ряд            
                               k 1
                                    ck ,   имеет смысл проверить возможность применения
                                                              
какого-либо признака сходимости к ряду                       
                                                             k 1
                                                                  | ck | ,   и если условия сходимости
                                           
выполняются, исходный ряд                
                                         k 1
                                              ck сходится абсолютно.

                           
                                (1)k
     П р и м е р. Ряд      
                           k 1  k   сходится абсолютно при   1 .



    Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Пусть члены
положительной последовательности ak , монотонно убывая, стремятся к нулю при
                      
k   . Тогда ряд    
                     k 1
                          (1)   k 1
                                        ak сходится.
     Доказательство. Рассмотрим последовательность четных частных сумм
s2n  a1  a2  a3  ......  a2n1  a2n  (a1  a2 )  (a3  a4 )  ...  (a2n1  a2n )  0 .
Очевидно, что с ростом n значения s2n возрастают. Теперь запишем эту же
частную сумму в ином виде: s2n  a1  (a2  a3 )  ......  (a2n2  a2n1)  a2n .
Очевидно, что s2n  a1 . Таким образом, мы имеем монотонно возрастающую
ограниченную сверху последовательность s2n . По одному из свойств
последовательностей существует nlim             s  s . Итак, последовательность частных
                                              2n
сумм с четными номерами имеет предел. Что же с нечетными частными суммами?

     Так      как         s2n1  s2n  a2n1           и         lim a
                                                                  n 2n1
                                                                            0,       то      существует
lim s    lim s
n 2n1 n 2n
                      lim a2n1  s . Следовательно, существует
                      n
                                                                                   lim s
                                                                                   n n
                                                                                           s.

                      
                          (1)k
     Пример. Ряд     
                     k 1  k  сходится по признаку Лейбница при любом   0 .


    В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы показали,
что этот ряд при   1 сходится абсолютно. При 0    1 ряд не может
абсолютно сходиться. Но он сходится по признаку Лейбница.

    Ряд, сходящийся,               но не сходящийся абсолютно, называется условно
сходящимся.



                                                       139

Страницы