Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 136 стр.

                                                Свойства числовых рядов

    Следующие свойства сходящихся рядов очевидным образом следуют из
свойств пределов последовательностей.
                                                                                                            
       1. Пусть ряды              ak и
                                 k 1
                                                        bk сходятся, причем
                                                       k 1
                                                                                                   ak  s,
                                                                                                  k 1
                                                                                                              
                                                                                                              k 1
                                                                                                                   bk   .   Тогда
        
ряд    
       k 1
            (  ak    b )k           также сходится, причем
                                                       
                                                     
                                                     k 1
                                                          (  ak    b )    s    .
                                                                              k



                                              
       2. Ряды         ak
                      k 1
                                          и   
                                              k 1
                                                   ak  N     сходятся или расходятся одновременно, причем
              
 ak  N   ak  sN .
k 1          k 1




                   Ряды с положительными членами.
    Очевидно, что у таких рядов частные суммы растут с ростом количества
слагаемых. Большую роль при исследовании числовых рядов с положительными
членами играют следующие теоремы сравнения.
                                                                                                                               
       Теорема сравнения 1. Пусть 0  ak  bk . Тогда из сходимости ряда                                                      
                                                                                                                              k 1
                                                                                                                                   bk
                                                                                                                  
следует сходимость ряда                             ak
                                                   k 1
                                                                    и из расходимости ряда                     
                                                                                                               k 1
                                                                                                                    ak    следует
                                     
расходимость ряда                
                                 k 1
                                      bk .
                                                                                                          
                                                                                                              n 1
       П р и м е р. Исследовать сходимость числового ряда                                                 
                                                                                                          k 1 2n  3
                                                                                                                 2
                                                                                                                      . Сравним
                                 
                                         1
этот ряд с рядом             
                             k 1 2n
                                     . Последний ряд расходится, так как в противном случае

сходился бы гармонический ряд и его сумма в соответствии с первым свойством
                                                                
                                                                    1                          n 1  1
была вдвое больше суммы ряда                                   
                                                               k 1 2 n
                                                                        . Так как                    , то исходный ряд
                                                                                              2n  3 2n
                                                                                                2

также расходится.

       Теорема сравнения 2.                                    Пусть              ak  0, bk  0,        причем        существует
                                                                                    
   a
lim n
n    bn
             K ( 0) . Тогда ряды                            
                                                              k 1
                                                                   ak    и          
                                                                                    k 1
                                                                                         bk    сходятся или            расходятся
одновременно.


                                                                        136