Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

25
В случае 1) направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости взаимно
перпендикулярны, то есть,
0A B C
, и существует общая точка у
прямой и плоскости (существование одной такой точки обеспечивает
принадлежность всех точек прямой данной плоскости);
в случае 2)
0A B C
и на прямой существует точка, не лежащая в
плоскости (существование такой точки обеспечивает то, что все точки прямой не
принадлежат данной плоскости);
в случае 3)
0A B C
.
Расстояние от точки до плоскости.
Рассмотрим плоскость с уравнением
0A x B y C z D
и точку с
координатами
( , , )x y z
. Расстоянием от заданной точки до заданной плоскости
является длина перпендикулярного к плоскости отрезка с концом в заданной
точке. Таким образом, следует провести через заданную точку
( , , )x y z
прямую,
перпендикулярную заданной плоскости. Параметрическими уравнениями такой
прямой являются уравнения
,
,
.
x x A t
y y B t
z z C t
t
. Найдем то значение
параметра
0
t
, при котором прямая пересекает заданную плоскость. При этом
значении параметра точка прямой становится точкой плоскости, то есть,
. Выражая
0
t
из последнего
уравнения, получим
0
2 2 2
t
A x B y C z D
A B C


. Следовательно, основанием
перпендикуляра, опущенного из заданной точки
( , , )x y z
на заданную плоскость
является точка с координатами
0 0 0
( , , )x y z
, где
00
0
2 2 2 2 2 2
2 2 2
,,
.
( ) ( )
()
x x y y
zz
A A x B y C z D B A x B y C z D
A B C A B C
C A x B y C z D
A B C


Осталось найти расстояние между точками
( , , )x y z
и
0 0 0
( , , )x y z
. Оно равно
2 2 2
||
A B C
A x B y C z D

. Таким образом, чтобы вычислить расстояние от точки до
плоскости, следует взять модуль левой части уравнения плоскости с заданными
координатами точки и разделить на корень из суммы квадратов коэффициентов
уравнения плоскости при переменных. 
    В случае 1) направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости взаимно
перпендикулярны, то есть,   A    B    C  0 , и существует общая точка у
прямой и плоскости (существование одной такой точки обеспечивает
принадлежность всех точек прямой данной плоскости);

    в случае 2)   A    B    C  0 и на прямой существует точка, не лежащая в
плоскости (существование такой точки обеспечивает то, что все точки прямой не
принадлежат данной плоскости);

      в случае 3)   A    B    C  0 .


                             Расстояние от точки до плоскости.

        Рассмотрим плоскость с уравнением A  x  B  y  C  z  D  0 и точку с
координатами ( x, y, z ) . Расстоянием от заданной точки до заданной плоскости
является длина перпендикулярного к плоскости отрезка с концом в заданной
точке. Таким образом, следует провести через заданную точку ( x, y, z ) прямую,
перпендикулярную заданной плоскости. Параметрическими уравнениями такой
                                                   x  x  A  t,
прямой являются уравнения  y  y  B  t ,                             t  . Найдем
                                                                                                 то значение
                                                   z  z  C  t.
                                                  
параметра t0 , при котором прямая пересекает заданную плоскость. При этом
значении параметра точка прямой становится точкой плоскости, то есть,
 A  ( x  A t0 )  B  ( y  B  t0 )  C  ( z  C  t0 )  D  0 . Выражая t0          из последнего
                                                A x  B  y  C  z  D
уравнения, получим t0                                                  . Следовательно, основанием
                                                     A2  B2  C 2
перпендикуляра, опущенного из заданной точки ( x, y, z ) на заданную плоскость
является                  точка                с              координатами         ( x0 , y0 , z0 ) ,     где
           A  ( A  x  B  y  C  z  D)               B  ( A  x  B  y  C  z  D)
x0  x                                       ,  y   y                                   ,
                     A2  B2  C 2                0
                                                                    A2  B2  C 2
           z0  z 
                      C  ( A  x  B  y  C  z  D) .
                                A2  B2  C 2
      Осталось найти расстояние между точками ( x, y, z ) и ( x0 , y0 , z0 ) . Оно равно
| A x  B  y  C  z  D | . Таким образом, чтобы вычислить расстояние от точки до
        A2  B2  C 2
плоскости, следует взять модуль левой части уравнения плоскости с заданными
координатами точки и разделить на корень из суммы квадратов коэффициентов
уравнения плоскости при переменных.




                                                     25

Страницы