Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

33
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Системы линейных уравнений.
В данном разделе нас будут интересовать возможность решения систем
линейных уравнений, то есть, систем вида
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
... ,
... ,
.................................
... ,
n
n
n
n
mn n m
m m m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
(3)
где
,
ij i
ab
– известные числа, а
j
x
– неизвестные, которые нужно найти, решив
систему,
1,..., , 1,...,i m j n
.
В качестве примеров применения таких систем приведем следующие задачи:
1) найти точку пересечения прямых
1 1 1 2 2 2
0, 0A x B y C A x B y C
,
2) найти точку пересечения трех плоскостей
1 1 1 1
0A x B y C z D
,
2 2 2 2 3 3 3 3
0, 0A x B y C z D A x B y C z D
.
Первая задача сводится к решению системы
1 1 1
2 2 2
,
.
A x B y C
A x B y C
Вторая задача решается сведением к решению системы
В разделе «Аналитическая геометрия на плоскости» мы рассматривали
случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости и обнаружили, что не
любая пара прямых пересекается в одной точке. Необходимым и достаточным
условием пересечения двух прямых на плоскости является условие
11
22
AB
AB
или
1 2 1 2
0A B B A
. Это неравенство и является условием разрешимости первой
задачи.
В разделе «Аналитическая геометрия в пространстве» мы рассматривали
случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве и также видели,
что три плоскости, попарно пересекаясь, могут не иметь общей точки, могут
иметь общую прямую. Кроме того, три плоскости могут быть параллельны, а
также все три плоскости могут оказаться одной и той же плоскостью, если все
соответствующие коэффициенты их уравнений пропорциональны. В частности, 
                        ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

                             Системы линейных уравнений.
    В данном разделе нас будут интересовать возможность решения систем
линейных уравнений, то есть, систем вида

                        a11  x1  a12  x2  a13  x3  ...  a1n  xn  b1 ,
                       
                        a21  x1  a22  x2  a23  x3  ...  a2 n  xn  b2 ,
                                                                                                         (3)
                                    .................................
                       am1  x1  am 2  x2  am3  x3  ...  amn  xn  bm ,
                       

    где aij , bi – известные числа, а x j – неизвестные, которые нужно найти, решив
систему, i  1,..., m, j  1,..., n .

     В качестве примеров применения таких систем приведем следующие задачи:

     1) найти точку пересечения прямых A1  x  B1  y  C1  0, A2  x  B2  y  C2  0 ,

      2) найти точку пересечения трех плоскостей                              A1  x  B1  y  C1  z  D1  0 ,
A2  x  B2  y  C2  z  D2  0, A3  x  B3  y  C3  z  D3  0 .

                                               A  x  B1  y  C1,
     Первая задача сводится к решению системы  1
                                                A2  x  B2  y  C2 .
                                               

     Вторая задача решается сведением к решению системы

                        A1  x  B1  y  C1  z   D1 ,
                       
                        A2  x  B2  y  C2  z   D2 ,
                        A  x  B  y  C  z  D .
                        3         3        3          3


       В разделе «Аналитическая геометрия на плоскости» мы рассматривали
случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости и обнаружили, что не
любая пара прямых пересекается в одной точке. Необходимым и достаточным
                                                                      A B
условием пересечения двух прямых на плоскости является условие 1  1 или
                                                                      A2 B2
 A1  B2  B1  A2  0 . Это неравенство и является условием разрешимости первой
задачи.

    В разделе «Аналитическая геометрия в пространстве» мы рассматривали
случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве и также видели,
что три плоскости, попарно пересекаясь, могут не иметь общей точки, могут
иметь общую прямую. Кроме того, три плоскости могут быть параллельны, а
также все три плоскости могут оказаться одной и той же плоскостью, если все
соответствующие коэффициенты их уравнений пропорциональны. В частности,
                                                     33

Страницы