Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 35 стр.

    3. Для того чтобы умножить одну матрицу на другую, необходимо
соответствие размеров матриц: количество столбцов первой матрицы должно
совпадать с количеством строк второй матрицы. Пусть матрица A размера m  n
с элементами a ij , i  1,..., m, j  1,..., n, умножена на матрицу B размера n  l с
элементами b jk , j  1,..., n, k  1,..., l. Результатом умножения является матрица C
размера          ml ,       элементы               которой           получаются            следующим   образом:
                                                    n
cik  a i1b1k a i 2 b 2k ...  a in b nk   aij  b jk , i  1,.., m, k  1,..., l.
                                                j 1




    То есть, элемент cik , стоящий в i -й строке и k -м столбце является
скалярным произведением i -го вектора-строки матрицы A на k -й вектор-столбец
                                                      . .        .
                                                                   
матрицы B :          i                                 . cik   . .
                                                      . .        . 
                                             k
                                                         


     Заметим, что умножение матриц некоммутативно, то есть, в общем случае
A B  B  A даже когда A и B – квадратные матрицы одного размера.



    Система линейных уравнений (3) с использованием правила умножения
матриц может быть записана в виде: A X  B , где

                                                                        x1            b1 
                                       a11 a12 a13 ... a1n                          
                                      
                                         a21 a22 a23 ... a2 n 
                                                                       x2            b2 
                                   A                            , X  : ,        B : .
                                       .......................                      
                                                                      :             : 
                                       am1 am 2 am3 ... amn          x             b 
                                                                        n             m

    Мы рассмотрели общий случай линейных систем вида (3). Если число
переменных системы (n) больше числа уравнений (m) , система оказывается
недоопределенной, и если имеет решения, то их бесконечное множество. В
случае, когда m  n , система оказывается переопределенной и может не иметь
решений.


                                                    Определители.
    Рассмотрим случай m  n . Соответствующая матрица A имеет размер n  n ,
то есть является квадратной. Для таких матриц вводится характеристика
определитель (детерминант). Для матрицы размера n  n соответствующий

                                                               35