Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 37 стр.

     Очевидно, что правило Крамера применимо, если   0 , и при этом система
(4) имеет единственное решение. В том случае, если   0 и существует хотя бы
один из определителей  j такой, что  j  0 , система не имеет решений.

     Если   0 и  j  0, j  1,..., n , это означает, что хотя бы одно из уравнений
системы (4) является линейной комбинацией других уравнений, и его можно
удалить из системы. Остается система из (n 1) уравнения относительно n
неизвестных. В ее левой части ищем среди определителей определитель (n 1) -го
порядка отличный от нуля. Берем систему с этим главным определителем, а
столбец слагаемых, содержащих переменное xk , коэффициенты при котором не
вошли в этот определитель, переносим в правую часть. Решая новую систему по
правилу Крамера, получим решение, зависящее от xk . Если среди определителей
(n 1) -го порядка нет ненулевых, убираем еще одно уравнение из системы и снова
ищем хотя бы один ненулевой определитель, уже (n  2) -го порядка….

    Современные пакеты математических программ позволяют решать системы,
не прибегая к вычислению определителей. Однако необходимо понимать, почему
система, решаемая с помощью компьютера, может не иметь решений или иметь
много решений.


                                Линейные отображения.
    Линейным отображением F векторного пространства X в векторное
пространство Y называется такое отображение, что для любых двух векторов x1 и
x2 из пространства X и любых двух вещественных чисел  и  справедливо:

                     F (  x1    x2 )    F ( x1)    F ( x2 ) .

    Любое линейное отображение n -мерного пространства в m -мерное
задается некоторой матрицей размера m  n и наоборот, любая матрица
размера m  n задает линейное отображение n -мерного пространства в m -
мерное.
     Действительно, возьмем произвольную матрицу A размера m  n . Ее можно
умножить на n -мерный вектор x , рассматриваемый в вида матрицы-столбца
размером n1. Результатом умножения будет матрица-столбец размером m1, то
есть, m -мерный вектор y . Имеем y  A  x , где

            y1                                            x1 
            2           a11 a12 a13 ... a1n             2
           y                                           x 
                           a21 a22 a23 ... a2 n 
         y :  ,    A                             , x   : .
                        .......................         
            :                                           : 
            ym          am1 am 2 am3 ... amn            xn 
                                                          
                                                   37