Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

39
3)
0R
(нейтральный элемент сложения) такой, что
Rx
справедливо
0xx
.
4)
R ( ) Rxx
такой, что
( ) 0xx
.
2. Аксиомы умножения.
1)
,Rxy
справедливо
x y y x
.
2)
, , Rx y z
справедливо
.
3)
1R
(нейтральный элемент умножения) такой, что
Rx
справедливо
1xx
.
4)
1
R\{0} Rx
x
такой, что
1
1x
x

.
3. Аксиома сложения и умножения.
1)
, , Rx y z
справедливо
( ) ( ) ( )x y z x z y z
.
4. Аксиомы порядка.
1)
Rx
справедливо
xx
.
2)
,Rxy
таких, что
xy
, справедливо одно из двух соотношений:
xy
или
yx
.
3) Если выполняются одновременно соотношения
xy
и
yz
, то
справедливо соотношение
xz
.
4) Если выполняются одновременно соотношения
xy
и
yx
, то
xy
.
5. Аксиомы порядка, связанные с операциями.
1) Если
xy
, то для
Rz
справедливо
x z y z
.
2) Если выполняются одновременно соотношения
0 x
и
0 y
, то
0 xy
.
6. Аксиома непрерывности.
Пусть
X
и
Y
– подмножества множества
R
, причем для
xX
и для
yY
справедливо
xy
. Тогда
Rz
такое, что
xz
и
zy
для
xX
и для
yY
.
Все перечисленные аксиомы обеспечивают те свойства вещественных чисел,
которыми мы привычно пользуемся.
Последняя аксиома кажется лишней в перечне аксиом. Однако именно эта
последняя аксиома позволяет ввести иррациональные числа в множество
действительных чисел.
Действительно, первые пять аксиом справедливы и для множества
рациональных чисел
Q
, то есть, чисел, представимых в виде отношения
p
q
, где
p
– целое число, а
q
– натуральное число. Однако еще древние греки знали,
например, что число, квадрат которого равен 2, не является рациональным.
Существование иррациональных чисел во множестве R доказывается именно
применением аксиомы непрерывности. 
   3) 0  R (нейтральный элемент сложения) такой, что x  R справедливо
x0  x.
   4) x  R ( x)  R такой, что x  ( x)  0 .

      2.     Аксиомы умножения.
      1) x, y  R справедливо x  y  y  x .
      2) x, y, z  R справедливо ( x  y)  z  x  ( y  z) .
      3) 1 R (нейтральный элемент умножения) такой, что x  R справедливо
x 1  x .
                       1                      1
      4) x  R\{0}   R такой, что x   1 .
                       x                      x

      3. Аксиома сложения и умножения.
    1) x, y, z  R справедливо ( x  y)  z  ( x  z)  ( y  z) .

       4. Аксиомы порядка.
    1) x  R справедливо x  x .
    2) x, y  R таких, что x  y , справедливо одно из двух соотношений: x  y
или y  x .
    3)      Если выполняются одновременно соотношения x  y и y  z , то
справедливо соотношение x  z .
    4) Если выполняются одновременно соотношения x  y и y  x , то x  y .

      5. Аксиомы порядка, связанные с операциями.
    1) Если x  y , то для z  R справедливо x  z  y  z .
    2) Если выполняются одновременно соотношения 0  x и 0  y , то 0  x  y .

      6. Аксиома непрерывности.
    Пусть X и Y – подмножества множества R , причем для x  X и для y Y
справедливо x  y . Тогда  z  R такое, что x  z и z  y для x  X и для y Y .

     Все перечисленные аксиомы обеспечивают те свойства вещественных чисел,
которыми мы привычно пользуемся.
     Последняя аксиома кажется лишней в перечне аксиом. Однако именно эта
последняя аксиома позволяет ввести иррациональные числа в множество
действительных чисел.
     Действительно, первые пять аксиом справедливы и для множества
                                                                     p
рациональных чисел Q , то есть, чисел, представимых в виде отношения , где
                                                                    q
 p – целое число, а q – натуральное число. Однако еще древние греки знали,
например, что число, квадрат которого равен 2, не является рациональным.
Существование иррациональных чисел во множестве R доказывается именно
применением аксиомы непрерывности.
                                                39

Страницы