Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 43 стр.

    Последовательности бывают числовыми, если все ее элементы – числа и
функциональными, когда ее элементы – функции.
                                                  1            1 1 1 1
    Примеры.                             1.        2          1, , , , ,.......             –   числовая
                                                   n nN       4 9 16 25
последовательность,
          sin  nx  
                                       sin  2 x  sin 3x  sin  4 x  sin 5x 
                             sin x ,              ,         ,           ,          ,....., x [0,2 ], –
              n 
    2.
                                          2           3         4           5
                      nN
функциональная последовательность.


                       Предел числовой последовательности

      Определение. Число a называется пределом числовой последовательности xn
( a  nlim x ), если для   0  N  N ( )  N такое, что при  n  N ( )
         n
справедливо неравенство: | xn  a |  . Произвольность положительного числа
 обеспечивает возможность для членов последовательности xn с большими
номерами n подойти сколь угодно близко к пределу a .
    Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся
последовательностью. В противном случае последовательность называют
расходящейся.
                            1         1
    Примеры. 1. Величина |    2
                                 0| 2 может быть сделана сколь угодно малой
                            n        n
                                                         1
при достаточно больших значениях n . Следовательно, nlim
                                                       2
                                                            0.
                                                                                           n
                       n         1
    2.        Величина |   1|      может быть сделана сколь угодно малой при
                      n 1      n 1
                                                            n
достаточно больших значениях n . Следовательно, nlim     n  1
                                                                 1 .

     3. Последовательность n3         
                                     1, 8 , 27 ,.... возрастает с ростом n , стремясь
                                               nN
к бесконечности. Конечного предела эта последовательность не имеет.
Следовательно, эта последовательность расходится.
     4. Последовательность  1
                                               n1
                                                      1, 1,1, 1...... не имеет предела, и значит,
расходится.
                                                n                  2         3
                             1                            3           4
    5. Последовательность 1                      2 ,         ,     ,......
                             n                             2           3
    является сходящейся, ее предел называется числом Непера и обозначается
буквой e , причем e  2,7182818...
                                           n
                        1
    Таким образом, lim 1    e .
                   n    n
                                                          43