Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 44 стр.

    Определение. Последовательность xn называется бесконечно малой, если ее
предел равен нулю, т.е. для   0  N  N ( )  N такое, что при  n  N ( )
справедливо неравенство: | xn |  .
    Определение. Расходящаяся последовательность называется бесконечно
большой, если для M  0  N  N (M )  N такое, что при  n  N (M )
справедливо неравенство: | xn | M . Произвольность числа M позволяет
значениям членов последовательности с большими номерами быть сколь угодно
большими по абсолютной величине.
    Очевидно, что последовательность xn является бесконечно малой тогда и
                                         1
только тогда, когда последовательность yn  является бесконечно большой.
                                         xn
    Определение.     Последовательность     bn  b1 , b2 , b3........   называется
подпоследовательностью последовательности an  a1 , a2 , a3........ , если все ее
элементы bn являются элементами последовательности an .
                                             1  1 1 1
      К     примеру,     последовательность  2 n   2 , 4 , 6 , ....... является
                                            3  3 3 3
подпоследовательностью последовательности  n   , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ......
                                            1      1 1 1 1 1 1
                                           3  3 3 3 3 3 3
    Существует теорема, доказывающая, что если последовательность сходится
к некоторому значению, то все ее подпоследовательности сходятся и к тому же
значению.


                       Предел функции. Свойства пределов

    Если при вычислении предела последовательности всегда n  , то,
вычисляя предел функции f  x  , следует оговаривать, к чему стремится ее
аргумент. Рассмотрим, в чем различие между пределами последовательности
      1               1
lim
n n2
          и функции xlim
                     
                        . Если в последовательности n возрастает, принимая
                     x2
только значения из множества натуральных чисел, то x может возрастать,
принимая любые вещественные значения. Пределы последовательности и
функции в этом случае равны нулю.
                                                    1
      В то же время имеет смысл рассмотреть предел lim  . Стоящая под знаком
                                               x0 x 2
предела функция увеличивается с приближением ее аргумента x к нулю,
оставаясь положительной, причем, при x сколь угодно близких к нулю, ее
                                                            1
значение становится все большим и большим. Ясно, что lim 2   . Поскольку
                                                       x0 x
при x  0 рассматриваемая функция не существует, этот ее предел дает


                                        44