Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 48 стр.

       Определение 3. Функции   x  и   x  называется бесконечно малыми

одного порядка малости при x  x0 , если xlim
                                                      ( x)  K , причем 0  /K/   .
                                           x     0  ( x)

    Определение 4. Функции   x  и   x  называется эквивалентными
                                                x
бесконечно малыми при x  x0 , если xlim  x0   x 
                                                       1.

    Определение 5. Функция   x  называется бесконечно малой более высокого
                                                            x
порядка малости, чем   x  , при x  x0 , если xlim
                                                     x0   x 
                                                                 0.

    Известны следующие свойства бесконечно малых.
    1)     Сумма конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая.
    2)     Произведение бесконечно малой и конечной величины – величина
бесконечно малая.
    3)     Произведение бесконечно малых – бесконечно малая.

     Теорема о пределе функции. Функция, стоящая под знаком предела
отличается от своего предельного значения на бесконечно малую, то есть из
 lim f  x   b следует f  x   b    x  , причем lim   x   0 .
xx0                                                             x x0

       Доказательство. Если xlim
                              x
                                 f  x   b , то                      согласно определению предела
                                          0

  0      0:x,| x  x0 |  ( )     f  x   b    ,       теперь       если       обозначить
                                                                
f  x   b    x  , то xlim
                             x
                                  x  0 .
                              0




                                  Свойства пределов функций

    1)    Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует
из определения предела.

       2)     Постоянную можно выносить за знак предела.

       В    самом     деле,       пусть        lim f  x   b ,
                                               xx0
                                                                       в   соответствии        с    теоремой

f  x   b    x  , причем xlim
                                 x
                                      x   0 . Очевидно, K  f  x   K  b  K   x  , где K
                                     0

постоянная. Но K   x  – бесконечно малая при x  x0 , что следует из свойств
бесконечно малых, тогда функция K  f  x  отличается от K  b на бесконечно
малую величину, следовательно, xlim
                                 x
                                    K  f  x   K  b  K  xlim
                                                                x
                                                                   f  x .
                                                  0                                 0



                                                       48