Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 49 стр.

    3)     Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций,
если они существуют.

          Пусть lim f  x   b и lim g  x   c , тогда f  x   b    x  и g  x   c    x  ,
                x x    0         x x            0

где           lim   x   0 и
          x x0
                                  lim   x   0 , тогда
                                  x x0
                                                                   f  x   g  x   b  c    x     x  . Но
подчеркнутые члены – это бесконечно малая                                        величина,           и     значит,
x x  0
                           
 lim f  x   g  x   b  c  xlim
                                   x
                                      f  x   xlim
                                              0   x
                                                     g  x .
                                                          0



    4)     Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов, если они существуют (доказывается аналогично).

                                                         f  x  xlim
                                                                     x0
                                                                         f  x
          5)        Предел отношения двух функций: lim
                                                   x x0 g  x 
                                                                                , если оба
                                                                   lim
                                                                   x x
                                                                         g  x              0

предела существуют и lim g  x   0 .
                     x x                 0


          6)        Если f  x   g  x  , то lim f  x   lim g  x  .
                                                x x  0       x x    0


          7)        Если h  x   f  x   g  x  и lim h  x   lim g  x   b , то xlim
                                                       x x          x x                   x
                                                                                               f  x  b .
                                                               0             0                        0

(Теорема о двух полицейских).


                                   Первый замечательный предел

           Докажем, что справедлива формула:
                        sin x
                    lim
                    x0 x
                              1.
          Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции sin x отношение
sin x
      при x , близком к 0, положительно при любом знаке x . Достаточно
  x
предположить, что x приближается к 0, оставаясь положительным. В противном
случае мы сменим знак x , что не повлияет на результат.          Используем
геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при
вершине, равным x .    BM – дуга граничной окружности сектора, A – его
вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC –
перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.




                                                          49