Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 51 стр.

             e z 1
      lim
      z 0
                     1.
                z
                                                 (1  x) 1
    3. Рассмотрим теперь предел lim         x0
                                                             . Сделаем замену (1 x)  e z . При
                                                        x
такой замене x  0 тогда и только тогда, когда z  0 . Получим
         (1  x) 1         e z 1         e z 1        z /
     lim              lim        
                                       lim          lim         
     x0       x       z 0 e z /
                                    1 z0 z z0 e / 1  z




                                       Непрерывность функции

    Определение 1. Функция f  x  непрерывна в точке a , если предел этой
функции при x  a равен значению функции в предельной точке, то есть
lim
xa
    f  x  f a .
     Применяя второе определение предела функции в точке, получим
     Определение 2. Функция        f  x  непрерывна в точке                         a,    если
  0      0:x,| x  a |  ( ),  f  x   f (a)    .
                                                                 
     Определение 3. Функция y  f  x  непрерывна в точке a , если lim y  0 ,
                                                                                   x0
где x  приращение аргумента функции ( x  a  x ), а y  f  a  x   f  a  –
приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента x .
    Доказательство следует из первого определения непрерывной функции
      x0          x0                       
      lim y  lim f  a  x   f  a   lim f  a  x   lim f  a   f  a   f  a   0.
                                                    x0                x0
Здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как
предел постоянной, поскольку f  a  не зависит от x .
     Определение 4. Функция f  x  непрерывна в точке a , если
       lim f  x   lim f  x   f  a  .
      xa0                xa0
    Определение 5. Функция f x  непрерывна в некоторой области, если она
непрерывна во всех точках этой области.
    Все степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические
и обратные тригонометрические функции непрерывны в областях
существования.

                                    Свойства непрерывных функций

     1)          Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

    Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если
lim
xa
    f  x   f  a  и lim
                        xa
                            g  x   g  a  , то
      lim
      xa                      
          f  x   g  x   lim
                              xa
                                  f  x   lim
                                            xa
                                                g  x  f a  g a .
                                                    51