Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 52 стр.

     2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
     3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель
в предельной точке не равен нулю.
         Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств
пределов.
     4). Пусть функция y  f ( x) непрерывна в точке a , пусть функция z  g ( y)
непрерывна в точке b  f (a) . Тогда функция z  h( x)  g ( f ( x)) непрерывна в
точке a .
         Очевидно, что z  h(a  x)  h(a)  g ( f (a  x))  g ( f (a)) 
       g ( f (a)  f (a  x)  f (a))  g ( f (a))  g (b  y)  g (b) .
     Так как согласно определению 3 непрерывности y  0 при x  0 и
z  0 при y  0 , получим: z  0 при x  0 .
         Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть
функция непрерывная.

                               
    Пример. Функция z  sin x2 непрерывна во всех точках числовой оси, так
как функция y  x2 непрерывна на R , а функция z  sin y непрерывна на
множестве неотрицательных чисел.

                          Точки разрыва функции

    Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области
задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.
    Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют
особой точкой. Так функция y 
                                      x существует на всей числовой оси, кроме
                                    x 1
точки x  1. Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.
    Разрыв может быть конечным, если lim f  x  и lim f  x  принимают
                                             xa 0       xa 0
конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют
скачком функции в точке разрыва.
                              1, x0
    Пример. Функция sgn x             . Очевидно, lim y  1,
                               1, x  0
                                                     x00
                              
     lim y  1 .
     x00
    Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.
                       1
    Пример. y              . Имеем y   , y    .
                    x  2          x20    x20

    Разрыв называется устранимым, если lim f  x   lim f  x  и эти пределы
                                             xa0     xa0
конечны, но функция в точке a не задана.



                                        52