Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 53 стр.

      Пример. Функция y 
                             sin x не может быть задана при
                                                            x  0 (деление на
                               x
ноль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого
замечательного предела.
    Устранить этот недостаток можно введением другой функции
      sin x
             , x0
y   x           . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но
      1, x  0
     
она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств
непрерывной функции.


                             Вычисление пределов

    Вначале выясним, в чем смысл вычисления пределов? В точках, где
функция     f  x  определена и непрерывна, соответствующий предел можно
получить, вычислив ее значение. Особый подход к вычислению предела
необходим, когда желательно знать поведение функции в окрестности особой
точки, или установить, как ведет себя функция при стремлении ее аргумента к
бесконечности.
                             x2 1  x 1 x 1 и x 1 Последняя получена в
      Рассмотрим   функции        
                                        x 1
                             x 1                       .

результате формального сокращения числителя и знаменателя первой на
множитель  x 1 . Это разные функции, так как имеют разные области
существования, хотя их значения совпадают повсюду, кроме точки x  1. В этой
точке первая функция не существует (деление на ноль), вторая равна 2. Теперь
                          x2 1
вычислим     предел lim
                      x1 x  1
                                . Рассмотрим   последовательность действий

   x 2 1        x 1 x 1  lim x 1  2 под знаком предела. Здесь мы заменяем
lim        lim                       
x1 x 1    x1
                     x 1      x1

одну функцию на другую в той области, где они совпадают, ибо при вычислении
предела x стремится к предельной точке 1, не попадая в саму эту точку. Итак,
рассматриваемая функция в точке 1 не существует, но стремится к значению 2
при x 1.
                                                             1
                                   x2  3  12             3 2 
                    3x 1
                        2
                                           x                 x 
    Исследуем lim 2          lim
               x x  x  2 x
                                                    xlim
                                                       
                                                                      . Он равен 3,
                                   2    1    2             1   2 
                                  x 1   2             1   2 
                                         x x               x x 
так как
        1 и 1 являются бесконечно малыми при x   . Сокращение на x 2
        x   x2

                                        53