Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 55 стр.

                                                 1 1             1 1
                                          x2  2   2         2  2 
                  2x  x 1   
                         2
                                                 x x             x x 
     2.       lim                 lim                  lim              0.
              x x  x  2
                                 x x3 1  1  2  x x 1  1  2 
                   3   2
                                             
                                                 x x3          
                                                                    x x3 

     Неопределенности   , 0  приводятся вначале к виду
                                                                              0 или  , затем
                                                                              0     
раскрываются одним из перечисленных выше способов.


     Примеры.

             lim 
                    
                    1     6                 x  3  6  0 
                        2       lim 2           lim
                                                                        x  3 
              x3 x  3 x  9
                                        x3 x  9     0
                                                             x3  x  3 x  3
     1)
                            1     1
              lim              
                x3
                         x  3 6
                                             x  0       x          
     2)      lim x ctgx  0   lim             lim       cos x   1.
              x0                       x3 tgx  0  x3  sin x       
                                                  

                                                 x  4 ,               x  1
                                                 
     3)      Проверить непрерывность функции y   x 2  2             1  x  1 .
                                                  2 x                    x 1
                                                  
                                                  

    Поскольку функции x  4 , x2  2 и 2x непрерывны в областях их задания,
достаточно рассмотреть функцию y в точках стыковки этих функций. Итак, для
x  1 имеем                    lim y  lim  x  4  3 ,
                               x10    x1                                              
                                                                      lim y  lim x2  2  3 ,
                                                                     x10      x1
y  1  1 4  3 .
     Функция в этой точке непрерывна согласно определению 4.
                               x10    x1       
     Для x  1 имеем lim y  lim x2  2  3 , lim y  lim 2 x  2 ,
                                                             x10     x1
y 1  12  2  3 . Условие непрерывности в точке x  1 не выполняется.
      Следовательно, функция y непрерывна на всей числовой оси за
исключением точки x  1, где она имеет конечный разрыв со скачком (-1).


                             Производная. Дифференциал функции

                         Задача о проведении касательной к кривой
         Пусть заданная кривая является графиком непрерывной функции
y  f ( x), x [a, b] , и требуется провести касательную к этой кривой в точке
c  (a, b) . Заметим, что касательная – это прямая, получающаяся в пределе из
                                                  55