Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 57 стр.

                                  f  f   x0  x  o(x) .
     Как было сказано выше, второе слагаемое в выражении приращения функции
– величина более высокого порядка малости, чем величина x , а следовательно, и
                    
чем величина f  x0 x . Другими словами, первое слагаемое в выражении
приращения функции представляет основную часть приращения функции.
Называют его дифференциалом функции y  f  x  в точке x0 и обозначают
df ( x0 )  f   x0  x. В целях единообразия и для того, чтобы подчеркнуть, что x –
бесконечно малая величина, приращение аргумента x в этой формуле
обозначают dx . Тогда df  f   x  dx , откуда следует второе обозначение
                               df
производной f   x             . Связь между приращением функции и                ее
                               dx
дифференциалом изображена на рисунке 1.




     Замечание. Геометрическим смыслом производной f ( x0 ) является тангенс
угла наклона касательной к кривой y  f ( x) в точке ( x0 , f ( x0 )) .
     Физическим смыслом производной f ( x0 ) является скорость в момент
x  x0 , когда зависимость длины пути y от скорости x задается функцией
y  f ( x) .
      Теорема. Дифференцируемая в точке x0 функция непрерывна в этой точке.

                                x0        x0            x0   
    В самом деле, поскольку lim y  lim f ( x0 )  lim f   x0  x  o(x)   
       0 , имеем lim y  0 , то есть условие ее непрерывности в соответствии с
                   x0
определением 3.
    Если из условия непрерывности функции следует, что приращение функции
y бесконечно малая при x  0 , то из условия дифференцируемости
получается, что y бесконечно малая одного порядка малости с x .
                                           57