Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 56 стр.

хорд, проходящих через точки (c, f (c)) и (c  x, f (c  x)) , когда x  0 .
Уравнение хорды – прямой, проходящей через две заданные различные точки, –
                x c          y  f (c)                     f (c  x)  f (c)
имеет вид:                                 или y  f (c)                     ( x  c) .
            (c  x)  c f (c  x)  f (c)                         x
Делая предельный переход при x  0 , получим предельное значение углового
коэффициента         хорд       –       угловой       коэффициент          касательной:
           f (c  x)  f (c)
k  lim                       . На рисунке касательная представлена пунктиром. Итак,
    x0           x
k  tg , где  – угол, образованный касательной с положительным направлением
оси OX .




    Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках
которых провести касательную невозможно.




      Возникает вопрос: какое условие нужно наложить на функцию f ( x) в
окрестности точки c , чтобы в соответствующей точке можно было провести
касательную к графику этой функции.
    Определение 1. Функция y  f x  называется дифференцируемой в точке x0 ,
если ее приращение f  f  x0  x   f  x  представимо в виде f  Ax   ,
причем A – константа,   o(x) – бесконечно малая функция, более высокого
порядка малости, чем x , то есть lim
                                               0.
                                      x0   x
     Установим значение A , для чего вычислим
                                lim
                                     f           
                                         lim  A    A .
                                x0 x  x0      x 
                                              
       Назовем число A производной функции y  f  x  в точке x0 и обозначим ее

f   x0  , в результате получаем определение производной f   x0   lim f и,
                                                                       x0 x
кроме того,

                                             56