Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58
Вычисление производной называют дифференцированием функции.
Правила дифференцирования
1) Производная суммы функций есть сумма производных этих функций.
Пусть
xvxux
, тогда
vuxvxuxxvxxux 
.
Очевидно,
xvxu
x
v
x
u
x
vu
x
x
xvu
xxxx

0000
limlimlimlim
.
2)
vuvuuv
.
3)
2
u u v u v
v
v





.
Свойства 2) и 3) доказываются аналогично свойству 1).
4) Пусть функция
()y f x
дифференцируема в точке
0
x
,
00
()f x y
. Пусть
функция
дифференцируема в точке
0
y
. Тогда сложная функция
( ( )) ( )z g f x x
дифференцируема в точке
0
x
, причем
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )x g y f x g f x f x
.
Действительно,
0 0 0
0 0 0 0
'( ) lim lim lim lim ( ) ( )
x x y x
g y g f
x g y f x
x y x y x


.
Производная обратной функции
Даны функция
xfy
и обратная ей функция
ygx
, т.е.
)(xfgx
.
Если
xf
дифференцируема в точке
0
x
и
0
'0fx
,тогда
yg
дифференцируема в точке
00
()y f x
, при этом
0
00
11
()
( ) ( ( ))
gy
f x f g y


.
Действительно, если
0x
, то
0y
. Теперь
0
00
00
00
1 1 1 1 1
'( ) lim lim
'( ) '( ( ))
lim lim
xx
xy
y
fx
x x x
x g y g f x
y y y
. 
     Вычисление производной называют дифференцированием функции.

                                 Правила дифференцирования

     1)        Производная суммы функций есть сумма производных этих функций.

     Пусть x   ux   vx , тогда
      x   ux  x   vx  x   ux   vx   u  v .
     Очевидно,
                          x           u  v   lim  u  lim v  ux   vx  .
u  v   x   lim
                       x0 x
                                   lim
                                     x0    x        x0 x   x0 x

     2)       uv   u  v  u v .
                         
                              u v 2u v .
               u    
     3)             
               v    
                                 v

Свойства 2) и 3) доказываются аналогично свойству 1).

     4) Пусть функция y  f ( x) дифференцируема в точке x0 , f ( x0 )  y0 . Пусть
функция z  g ( y) дифференцируема в точке y0 . Тогда сложная функция
z  g ( f ( x))  ( x)           дифференцируема             в точке x0 ,  причем
( x0 )  g( y0 )  f ( x0 )  g( f ( x0 ))  f ( x0 ) .
Действительно,

                             g y      g       f
        '( x0 )  lim    lim     lim      lim     g ( y0 )  f ( x0 ) .
                 x0 x  x0 y x y0 y x0 x




                                Производная обратной функции

     Даны функция y  f x  и обратная ей функция x  g  y  , т.е. x  g  f (x) .
Если      f x  дифференцируема в точке                x0      иf '  x0   0 ,тогда g  y 
дифференцируема в точке y0  f ( x0 ) , при этом g ( y0 ) 
                                                                1               1
                                                                                     .
                                                             f ( x0 ) f ( g ( y0 ))
     Действительно, если x  0 , то           y  0 . Теперь

                      y       1      1         1         1              1
       f '( x0 )  lim    lim                                                .
                 x0 x x0 x        x        x   g '( y  )   g '( f ( x  ))
                                   lim       lim             0               0
                               y x0 y y0 y

                                                58

Страницы