Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 60 стр.

                                                                                                  
                                   
                                       x                                 1
                                                                                        x 
                                                                                   1                1
     y  x  x 
                                   1
                          x
                                       x                                            x 
                             x                                              x                          .
     x        x                                                 x                         x  x
                                                                                              x
    Переходя к пределу при x  0 и используя 3-е следствие из второго
замечательного предела, получим вторую формулу.
                                                                      x  x
    3. Пусть y  sin x , тогда y  sin x  x   sin x  2 cos x      sin   .
                                                                      2       2
    Используя первый замечательный предел, получим

                                             x      x                         x
                                   2 cos x      sin                        sin
                        y                                              x 
     sin x   lim       lim             2       2
                                                           lim cos x     
                                                                                   2  cos x .
                   x 0 x   x 0           x             x 0       2  x
                                                                                 2
                                                
                                        sin x  cos x cos x  sin x  sin x 
                                                                                   1
    4. Пусть y  tgx , тогда  tgx                                                 .
                                        cos x 
                                                               2
                                                           cos x                  cos2 x
    5. Пусть y  loga x , тогда
                                                 x  x               x 
    y  log a x  x   log a x  log a                   log a 1         , теперь применяя
                                                 x                        x 
    первое следствие из второго замечательного предела, получим
                                           x                  x                  x 
                                    log a 1               ln 1               ln 1  
                       y
     loga x   lim                         x                    x                    x    1
                            lim                    lim                 lim                       .
                    x0 x                 x                  ln a x                   x
                                                                                    ln a   x x  ln a
                                x0                     x 0                  x 0
                                                                                           x
                                                                     1
    6. Пусть y  a x , тогда, x  log a y , x' ( y )                    , значит
                                                                  y ln a

                    
        y ' ( x)  a x 
                             1
                          x' ( y )
                                    y ln a  a x ln a .

    7. Пусть y  arcsin x , тогда x  sin y , x' ( y)  cos y  1  sin 2 y  1  x 2 .
                                         1         1
     y ' ( x)  arcsin x                             .
                                       x' ( y )   1  x2

                                    Примеры вычисления производных

    1.        y  sin3 5x  2 ,
y  3sin 2 5x  2cos5x  2 5  15sin 2 5x  2cos5x  2 .
                    ln  tg 2 x               ln  tg 2 x                 2                       2ln 4
              y4                   , y  4                                        4  
                                                                                      ln tg 2 x
    2.                                                         ln 4            2
                                                                                                                .
                                                                      tg2 x cos 2 x             sin 2 x cos 2 x
                                                                             60