Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 62 стр.

                                                          1       ln x tgx
самом деле,        ln y  x   tgx ln x  x .   Поэтому
                                                            y
                                                              y        
                                                                   cos2 x x
                                                                             . В результате

       ln x tgx        ln x     tgx  tgx
y            y              x .
           2
      cos x   x             2
                          cos x    x 
      .


                       Теоремы о дифференцируемых функциях
      Терема Ролля. Пусть функция y  f x  дифференцируема на интервале
a , b , причем f a   f b, тогда найдется хотя бы одна точка c внутри
интервала,          в       которой   Y
производная               функции
обращается в нуль, то есть                             y=f(x)
 f c   0 , c  a , b .
   
      Теорема дается без
доказательства, приведена
геометрическая
иллюстрация теоремы.                    0   a      c   b             X




      Теорема Коши. Если функции y  f x  и y  g x  дифференцируемы на
интервале      a , b и     g b  g a , то существует такая точка c   a , b  , что
f b   f a  f c 
                       .
g b   g a  g c 
      Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
                           f b   f a 
        x   f  x                    g x   g a .
                          g b  g a 
      Она дифференцируема, так как кроме функций y  f x  и y  g x  в нее
входят только постоянные, причем, a   b  f a  , то есть удовлетворяет
всем условиям теоремы Ролля.
Тогда
                     f b   f a 
 c   f c                    g c   0 ,
                                                              Y      B
                    g b  g a                                M
                                                                       y=f(x)
                                                                C
теорема доказана.                                                 N

    Важным частным случаем                                                           f(b)
теоремы Коши при        g ( x)  x                              A
является                                                            f(a)
    Теорема конечных приращений
Лагранжа. Если функция y  f x                            0   a          c x   b          X

                                                     62