Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 64 стр.

                                      Формула Тейлора

      Предположим, что функция y  f x  имеет производную первого порядка в
точке a . Из определения дифференцируемости функции в точке a имеем
 f (a  x)  f (a)  f '  a  x   , где  – бесконечно малая функция при x  0 .
Поэтому для точек x , близких к точке a справедлива формула
                                      f ( x)  f (a)  f '  a  ( x  a),

обеспечивающая первое приближение функции. Эта формула позволяет
получать очень грубые приближенные значения функций в точках, так как ее
можно трактовать как замену функции f ( x) многочленом первой степени в
окрестности той точки a , где значение функции и ее производной легко найти.
Очевидно, что формула эта применима в очень малой окрестности точки a .
                                                  1        1 3        1  63
    Пример.        4
                       15  4 16 1  2  4 1       2  1 1 4  ( )   .        Здесь   мы
                                                 16        4         16  32
                                                                                                1
использовали формулу первого приближения при f ( x)  4 1 x , a  0, x                         .
                                                                                               16
                           1  34             1
Поэтому f (a)  1, f (a)  1 и ( x  a)   .
                           4                 16

        Возникают вопросы: 1) нельзя ли использовать многочлены более
высоких степеней для более точного приближения функции? 2) как оценить
ошибку приближения?
        Формула Тейлора дает ответы на эти вопросы.
        Предположим, что функция y  f x  имеет все производные до
n  1 порядка в некотором промежутке, содержащем точку a. В таком случае для
всех значений x из этого промежутка справедлива формула
                              f a 
                                      x  a   f a  x  a 2  f a  x  a 3 
                                                                   
            f x   f a  
                                1!                2!                 3!
                f   a                   f   a
                   IV                          n
                           x  a                x  a  r  x,
                                   4                          n
              
                    4!                         n!
                                     f (n1) (a   ( x  a))
    где остаточный член r ( x)                                ( x  a)n1 и   (0,1) .
                                             (n 1)!
       Таким образом, функция приближается многочленом, и ошибка
вычислений, обусловленная заменой значения функции значением многочлена,
равна остаточному члену. Поскольку точное значение   (0,1) не может быть
найдено, значения функций вычисляются приближенно, и остаточный член
служит не для подсчета, а для оценки ошибки. Последняя формула является
обобщением формулы конечных приращений Лагранжа.


                                                   64