Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 65 стр.

          Следующий пример демонстрирует, как приближается функция
 f ( x)  e x  sin x (голубая линия) многочленами по формуле Тейлора (красная
линия) в окрестности точки a  0 при увеличении степеней многочленов от
первой до одиннадцатой.
       Taylor.wxm

     Формулу Тейлора можно записать через дифференциалы:
                           df (a) d 2 f (a) d 3 f (a) d f  a        d n f a
                                                       4
          f  x  f a                                                rn  x 
                             1!      2!        3!        4!              n!
                                                             .
    Для приложений к вычислению пределов используют локальную формулу
Тейлора, имеющую вид
                                      f a            f   a             f   a 
                   f  x  f a            x  a              x  a               x  a 
                                                                           2                      3
                                        1!                2!                     3!
                     f  IV  a                     f n  a 
                   
                          4!
                                   x  a      
                                           4

                                                         n!
                                                                                 
                                                                  x  a n  o x  a n . 
     Такое представление остаточного члена показывает, что остаточный член
есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x  a n .
     Локальная формула Тейлора является обобщением формулы связи
приращения функции и дифференциала функции в точке.
     В частности, при a  0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:
                                  f   0    f   0 2 f   0 3      f    0 n
                                                                               n
               f  x   f  0           x          x           x            x  rn ( x).
                                    1!          2!           3!                n!

 Примеры разложений элементарных функций по формуле Маклорена.

    Пример 1. Рассмотрим функцию e x . Нетрудно заметить, что любая
производная этой функции равна самой функции, а f n  0  e 0  1. В
соответствии с формулой Маклорена
                                           x x 2 x3  xn
                                   e x  1     rn  x  .
                                           1! 2! 3!  n!
                                                       | x |n1
         Оценим rn ( x) : | rn ( x) | emax{x ,0}              . В свою очередь для оценки величины
                                                      (n  1)!
emax{x ,0} можно брать 1 при x  0 и 3x при x  0 .
       Пример 2. Рассмотрим функцию f x   sin x . Так как f   x   cos x ,
f   x    sin x , f   x    cos x , f IV  x   sin x , f V  x   cos x и т.д., получим
     f 0  0 , f 0  1 , f 0  0 , f 0  1 , f IV 0  0 , f V 0  1 ….
     Первые члены формулы Маклорена принимают вид
                                           1       1       1
                                   sin x  x  x 3  x 5    
                                           1!     3!       5!
                                                        65