Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 66 стр.

     Анализируя первые члены разложения, записываем его общий член
  1n1 x 2n1 . В результате
2n  1 !
                                                                           n1
                               1   1    1
                        sin x  x  x3  x5 
                                                    1 x2n1  r  x  .
                               1! 3!    5!         2n 1 !                            n




         Оценим rn ( x) : | rn ( x) |
                                          | x |2n1 , так как                          
                                                                      | sin( x  (2n 1) ) | 1.
                                          (2n  1)!                                     2

      Пример 3. Получим разложение по формуле Маклорена функции
f x   cosx.
               f   x    sin x , f   x    cos x , f   x   sin x , f IV  x   cos x ,
                                  f V  x    sin x , f VI  x    cos x .
     Очевидно, что
                               f 0  1 , f 0  0 , f 0  1 , f 0  0 ,
                      f IV 0  1 , f V 0  0 , f VI 0  1.
     В соответствии с формулой Маклорена получаем
                                                       1 x2n  r  x  .
                                                                                 n
                                  1    1    1
                        cos x  1 x2  x4  x6 
                                  2!   4!   6!         2n !      n



                                                      2(n1)
                                                                                                   
             Оценим rn ( x) :       | rn ( x)| | x |      , так как | cos( x  (2n  2) ) | 1.
                                                 (2n  2)!                              2

     Пример 4. Получим разложение по формуле Маклорена функции
                                                                    (1)n1(n 1)!
f  x   ln(1 x).         Поскольку             f   ( n)
                                                             ( x)                 ,        (0!  1) ,   имеем
                                                                       (1 x)n
f (n) (0)  (1)n1(n 1)!, поэтому получим разложение
                                                x2 x3       (1)n1 xn
                             ln(1 x)  x          ...              rn ( x).
                                                2 3             n
          Оценим     rn ( x) . Согласно приведенной формуле остаточного                                  члена
                               (n1)
имеем    | rn ( x)|      | x |            . Поэтому для x  0 получим оценку
                                     (n1)
                      (n 1) |1   x |
                        (n1)
        | rn ( x)| | x |       , но для       x0             использование приведенной формулы
                      (n 1)
остаточного члена не годится. Для таких значений x используют другие формы
остаточного члена.
      Пример 5. Получим разложение по формуле Маклорена функции
 f  x   (1 x) ,   N . Дифференцируя, найдем


                                                         66