Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 68 стр.

    Здесь использовалось то, что c находится между a и x , следовательно,
c  a при x  a .

                        x2  3x  2  0        2x  3 1 .
     Примеры. 1) lim                    lim         
                    x2   x 4
                            2
                                       0
                                          x2 2 x       4
             ln x           x1         1
     2) xlim         xlim       xlim     0.
           x
                           1        x



   Теорема о возрастании (убывании) функции y  f x  на интервале

    Необходимое условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если
функция y  f x  , имеющая производную на интервале (a, b) , возрастает
(убывает) на этом интервале, то ее производная f x   0 ( f x   0 ) на этом
отрезке.   Доказательство    следует   из   формулы       для        производной
                  f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim                           , где знаки числителя и знаменателя совпадают
          x0              x
(противоположны), а при предельном переходе знак неравенства становится
нестрогим.
     Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если
функция y  f x  непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале
(a, b) , причем f x   0 ( f x   0 ) для a  x  b , то эта функция возрастает
(убывает) на этом отрезке.                                  Y
     Доказательство легко получается применением
теоремы Лагранжа.

        Определение 1. Функция y  f x  в точке x1
имеет максимум, если для всех x из некоторой  -
окрестности точки x1 выполняется неравенство
 f  x   f ( x1) при x  x1 .
                                                               0                   X




                                                           Y
        Определение 2. Функция y  f x  в точке
x2 имеет минимум, если для всех x из некоторой  -
окрестности точки x2 выполняется неравенство
 f  x   f ( x2 ) при x  x2 .

                                                               0                   X
                                            68