Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

67
()
,(1 ) ( 1)( 2)...( 1)(1 )
n
n
x n x

поэтому
,
()
(0) ( 1)( 2)...( 1)
n
fn
и имеем разложение
2
2!
( 1) ( 1)( 2)...( 1)
(1 ) 1 ... ( )
!
n
n
n
x x x x r x
n
.
Для оценки остаточного члена при
n
, больших или равных целой части
,
приведенная форма остаточного члена годится также только для
0x
. В
этом случае оценка следующая:
( 1)
|
| ( 1)( 2)...( )
|
( 1)!
| ( )|
n
n
n
x
n
rx
.
Пример применения локальной формулы Маклорена для вычисления
предела
2
2 4 2 4
44
/2
44
00
4
4
4
0
1 ( ) (1 ( ))
cos
2 24 2 8
lim lim
()
1
12
lim .
12
x
xx
x
x x x x
o x o x
xe
xx
x
ox
x



Приложения производной функции
Правило Лопиталя (Правило раскрытия неопределенностей
и
).
Пусть требуется вычислить предел
lim
xa
fx
gx
, причем функции в числителе и
знаменателе дифференцируемы в окрестности точки
a
и имеет место одна из
неопределенностей
0
0
или
, тогда если существует предел
lim
xa
fx
gx
,
возможно, равный бесконечности, то
lim lim
x a x a
f x f x
g x g x

.
Доказательство (для неопределенности
0
0
). Поскольку
( ) ( ) 0f a g a
, из
теоремы Коши имеем
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x a x a x a c a x a
f x f x f a f c f c f x
g x g x g a g c g c g x
. 
                        (1 x) 
                                      ( n)
                                               ( 1)(  2)...(  n 1)(1 x) n ,

    поэтому f (n) (0)   ( 1)(  2)...(  n 1), и имеем разложение

     (1 x)  1  x 
                               ( 1) x2  ...   ( 1)(  2)...(  n 1) xn  r ( x) .
                                                                                     n
                                 2!                                 n!
    Для оценки остаточного члена при n , больших или равных целой части  ,

    приведенная форма остаточного члена годится также только для x  0 . В
этом случае оценка следующая:                 | rn ( x)| |  ( 1)(  2)...(  n) | x |(n1) .
                                                                     (n 1)!


      Пример применения локальной формулы Маклорена для вычисления
                               предела
                                         2   4             2   4
                                       x   x             x   x
                                    1    o( x )  (1    o( x4 ))
                                                4
                    x2 / 2
         cos x  e
     lim                       lim    2 24              2 8           
     x0       x4               x0                x 4
              4
            x  o( x4 )    1
      lim 12 4           .
       x0      x          12


                              Приложения производной функции

                                                                                                0 
  Правило Лопиталя (Правило раскрытия неопределенностей                                          и ).
                                                                                                0 
                                         f  x
    Пусть требуется вычислить предел lim        , причем функции в числителе и
                                        g  x
                                     x a

знаменателе дифференцируемы в окрестности точки a и имеет место одна из
                    0                                                    f  x
неопределенностей      или    , тогда если существует предел lim     x a g   x 
                                                                                    ,
                    0       
                                       f  x        f  x
возможно, равный бесконечности, то lim         lim
                                   xa g  x  xa g   x 
                                                             .

                                                               0
    Доказательство (для неопределенности                         ). Поскольку f (a)  g (a)  0 , из
                                                               0
теоремы Коши имеем
                    f ( x)        f ( x)  f (a)        f (c)        f (c)        f ( x)
             lim            lim                  lim          lim          lim          .
             xa    g ( x)   x a g ( x)  g (a)   x a g (c)   c a g (c)   x a g ( x)
                                                        67

Страницы