Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 69 стр.

    Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.

    Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции.
Необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке c функции
является f c   0 .
                                             Y
    Доказательство. Пусть точка c – точка
                      f (c  x)  f (c)
максимума, тогда                          0 при x  0
                              x
    f (c  x)  f (c)
и                       0 при x  0 . Поскольку
            x
при вычислении производной пределы слева и
справа должны совпадать, то есть f   c   0 .
                                                 0                        X
    Точки, в которых производная функции
обращается в ноль, называются критическими точками. Критические точки
функции не обязательно являются точками экстремума. Например, если f x   x 3 ,
то f ' x   3x 2  0 при x  0 , но точка x  0 не является точкой экстремума, что
видно из рисунка.




     Теорема 1 о достаточном условии существования максимума и минимума
функции.
     Если производная функции при переходе через точку c меняет знак с + на –,
это точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, имеем
              +     max     -                     -       min   +


    точку минимума. Доказательство следует из теоремы о возрастании
(убывании) функции.

     Теорема 2 о достаточном условии существования максимума и минимума
функции. Пусть f x0   0 , тогда при x  x0 функция имеет максимум, если
f "x0   0 и минимум, если f "x0   0 .

                                            69