Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 70 стр.

    Доказательство.
    Из формулы Тейлора в окрестности точки экстремума x0 , в которой
удержано три первых члена, имеем
           y  f  x   f  x0   f   x0  x  x0       f   x0  x  x0   o   x  x0   .
                                                              1                      2                 2
                                                              2                                         
       Поскольку f x0   0 , что следует из условия теоремы, а остаточный член r
по определению меньше предыдущего члена формулы, знак приращения функции
независимо от того, точка x находится левее, или правее x0 , определяется
знаком второй производной. Когда f x0   0 , получаем f x   f x0   0 ,
следовательно, x0              точка минимума функции, если f x0   0 , значит
 f x   f x0   0 , тогда x0 - точка максимума функции.
                           1
       Пример 1. y  x 4  x 3 . Найдем критические точки этой функции. Так как
                           4
 y  x  3x  x ( x  3) , то критическими точками являются x1  0 , x2  3 .
        3      2     2

Применим первую теорему о достаточном условии. Очевидно, что y  x   0 при
x  0 и при 0  x  3 , следовательно, в точке 0 экстремума нет. y( x)  0 при
x  3 , следовательно, в точке 3 минимум функции.
     Пример 2. y  cos2 x . Найдем критические точки этой функции. Так как

y   sin 2x , то критическими точками этой функции являются точки                                   xk   k .
                                                                                                               2
Применим      вторую        теорему         о    достаточном              условии.         Очевидно,           что
y( xk )  2cos k , поэтому xk   k является точкой локального максимума при
                                2
k четном и точкой локального минимума при k нечетном.


        Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

     Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и
наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь
экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в этой области
значения она имеет всегда.
    Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
отрезке, необходимо подсчитать значения функции в точках экстремума,
входящих в исследуемую область, а также в граничных ее точках и выбрать среди
них наименьшее и наибольшее значения.

    Пример.
    Определить наибольшее и наименьшее значения функции y  x 3  3x 2  1 на
отрезке 1; 4 .
    Находим точки, в которых производная обращается в нуль:
                                                   70