Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 72 стр.

     Для доказательства теоремы запишем уравнение касательной к кривой
y  f x  в точке x0  a ; b : y  f x0   f x0 x  x0  . Вспомним также формулу
Тейлора, которую представим следующим образом
                                                                                                    2
               f  x   f  x0   f   x0  x  x0       f   x0  x  x0   o   x  x0   .
                                                             1                      2
                                                             2                                       
     Вычитаем эту формулу из формулы касательной, тогда
                                                                                2
                           y  f  x    f   x0  x  x0   o   x  x0   ,
                                          1                     2
                                          2                                      
     где y  ординаты точек касательной. Знак правой части определяется первым
                                                                        2
ее членом, поскольку остаточный член o   x  x0   в окрестности x0 мал по
                                                                          
сравнению с основным членом, таким образом. При условии f x0   0 разность
между значением касательной и функции положительна, следовательно, точки
касательной лежат выше точек кривой, и функция выпуклая. Перебирая
различные точки x0 интервала a ; b  , убеждаемся, что первая часть теоремы
доказана. Аналогично доказывается вогнутость кривой.

    Теорема. Если f c   0 и при переходе через точку c вторая производная
меняет знак, x  c – точка перегиба.

                                                       1 4
     Пример. Рассмотрим функцию y                       x  x 3 . Имеем
                                                       4
y  x3  3x2. y  3x2  6x  3x( x  2)  0  x1  0 , x2  2 .
      y  x   0 , при x  0, x  2 , y  x   0 при 0  x  2 . Следовательно, точки x1 и
x2 – точки перегиба. В первой вогнутость переходит в выпуклость, во второй –
выпуклость в вогнутость.




                                       Асимптоты кривой

    Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние  от
переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в
бесконечность стремится к нулю.
       На двух следующих рисунках асимптоты окрашены в красный цвет




                                                      72